常微分方程复习提要

一、掌握下述基本概念第一章2.微分方程的阶的概念，会判断方程的阶.3.微分方程的线性性的概念，会判断方程是线性还是非线性方程.4.微分方程的解的概念，通解和特解的概念，通积分和特积分的概念.5.理解微分方程初值问题的概念，掌握初值问题的求解步骤.1.微分方程的概念，常微分方程的概念.定义（P3）:联系自变量、未知函数及未知函数某些导数的等式称为微分方程.如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程,简称为微分方程.一阶隐式方程形如：一阶显式方程形如：n阶隐式方程形如：n阶显式方程形如：（其中F为已知的函数）（微分形式的一阶方程：）,,0Fxyy,yfxy,,0MxydxNxydy,,,...,0nFxyyy1,,,...,nnyfxyyy定义（P3）：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数(或微分的阶数)称为微分方程的阶数.定义（P4）：如果一个微分方程关于未知函数及其各阶导数都是一次的，则称它为线性微分方程，否则称之为非线性微分方程.,,,,0nFxxxx定义（P4）:设函数在区间I上连续，且有得到在区间I上的恒等式，则称直到n阶的导数.如果把代入微分方程:,,,...,0nFxyyyyxyxyx为该方程在区间I上的一个解.定义（P5）：如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.如果微分方程的解中不含有任意常数,则称这样的解为该方程的特解.由隐式表示的通解称为通积分，由隐式表示的特解称为特积分.二、掌握下述方程的形式与解法2.齐次方程3.一阶线性非齐次方程4.伯努利方程5.全微分方程1.变量可分离方程6.简单的可降阶高阶方程1.变量可分离方程：d()()dyfxgyxd(1)()0()d()ygyfxxgy当时，分离变量：解法：d(2)()d()yfxxCgy两边积分，得通积分：y进一步解出，可得到通解.(3)()=0.gy由求出常数解微分形式变量可分离方程：122112(1)()()0()()dd0()()NyMxNyMyyxNyMy当时，分离变量：解法：2112(2)()()dd()()NyMyyxCNyMy两边积分，得通积分：12(3)()0,()0.NyMx由求出常数解1122()()d()()d0MxNyxMxNyy2.齐次方程：d()dyygxxdd,,ddyyuuuxxxx令则代入方程可化为变量可分离方程：解法：d()duguuxx再用变量可分离方程的解法求解即可.3.一阶线性非齐次方程：d()()dypxyfxxd(1)()0dypxyx先求出对应的齐次方程的通解:解法：()d(2)()()pxxyCxeCx常数变易法：令为非齐次方程的解，代入方程解得,回代入上式即得非齐次方程的通解：()d()d()d()dpxxpxxpxxyCeefxex()dpxxyCe4.伯努利方程：d()()(0,1)dnypxyfxynx1dd(1)ddnnzyzynyxx令，则,代入方程化为一阶线性方程非齐次方程求解：解法：ny两边除以，得1d()()dnnyypxyfxx1d()()1dzpxzfxnx5.全微分方程：(,)d(,)d0MxyxNxyy(1)MNyx先验证是否有，如果相等则是全微分方程；解法1：(2)方程的通积分为：000(,)d(,)dxyxyMxyxNxyyC注：是全微分方程的充要条件是(,)d(,)d0.MxyxNxyyMNyx(,)Uxy观察方程直接求出它的原函数，从而得到方程的通积分为：解法2：（观察法）(,)UxyC一、解的存在唯一性定理第二章2.会判断一个微分方程在什么样的区域上保证初值解存在唯一.1.掌握解的存在唯一性定理2.2的条件与结论，熟记利普希茨条件和利普希茨条件的验证方法.定理2.2：d初值问题d00(,),(2.2)()yfxyxyxy其中在矩形区域(,)fxy00:,Rxxayyb上满足：在上对普希茨条件满足利(Lipschitz(2:))Ry0,(,),(,)NxyxyR即存在常数使对于所有都有不等式：12(,)(,)fxyfxyNyy则初值问题在区间上的解存在且唯一.0(2.2)xxh这里(,)min(,),(,)xyRbhaMMaxfxyM在上连续；(1)R注1：利普希茨条件条件是保证初值问题解唯一的充分条件，而非必要条件.注3：保证初值问题（2.2）解存在唯一的区域：连续的区域连续的区域(,)(,)yfxyfxy二、解的延展2.会判断微分方程初值解的存在区间.1.了解解的延展定理.定理2.3:解的延展定理如果方程右端函数在区域上连续且对满足局部条件那么方程通过内任一点的解可以左右延展直到点任意接近的边界200(2.1)(,),Lipschitz,(2.1)(,)(),(,()).fxyDRyDxyyxxxD注1：“点任意接近的边界”含义是：(,())xxDd(,),(2.1)dyfxyx当区域有界时,积分曲线向左右延展将任意接近的边界；DD当区域无界时,积分曲线向左右延展或者任意接近的边界（如果有的话）或者无限远离.DD局部Lipschitz条件可以用在内连续代替注2：(,).yfxyD三、奇解2.会判断一个微分方程不存在奇解.1.了解奇解的概念.定义2.3:微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的积分曲线上每一点还有方程的另外一个解存在.不存在奇解的判别法:奇解只能存在于不满足解的存在唯一性条件因此如果进一步在不满足解的存在唯一性条件的区域上不存在方程的解，则可断定该方程的区上，无奇解.一、一阶微分方程组第三章了解一阶微分方程组的基本概念：通解、特解，初值问题等；的一般形式为：含有个未知函数的一阶微分方程组n1,,nyyd(,,,),dd(,,,),d111212nnnnyfxyyyxyfxyyyx（3.1）初始条件为：1010202000(),(),,().nnyxyyxyyxy(3.2)微分方程组的解：设在上可微，并满足恒等式则称为微分方程组(3.1)在区间的一个解。1(),,()nyxyx[,]ab1d()(,(),,()),(1.2)diinyxfxyxyxinx[,]ab1(),,()nyxyx通解及通积分：含有n个任意常数的方程组（3.1）的解1111(,,)(,,)nnnnyxccyxcc为（3.1）的通解.1,ncc隐式的通解称为通积分.二、一阶线性微分方程组了解一阶线性微分方程组的一般形式，向量形式，了解一阶线性齐次方程组、一阶线性非齐次方程组的概念；对所有未知函数都是一次的，即则称此方程组为一阶线性微分方程组.如果一阶微分方程组(3.1)中的函数12(,,,,)infxyyy(1,2,,)in12,,,nyyy1111122112211222221122d()()()(),dd()()()(),dd()()()().dnnnnnnnnnnnyaxyaxyaxyfxxyaxyaxyaxyfxxyaxyaxyaxyfxx（3.6）一阶线性微分方程组：记1112121222112()()()()()()(),()()()nnnnnaxaxaxaxaxaxxaxaxaxA12()()(),()nyxyxxyxY12()()(),()nfxfxxfxFd()()dxxxYAYF一阶线性非齐次方程组（向量形式）：（3.7）（3.7）对应的一阶线性齐次方程组：（3.8）d()dxxYAY三、一阶线性齐次微分方程组的一般理论1、向量函数组的线性相关性的定义（P125定义3.1），朗斯基行列式的定义（P127），向量函数组的线性相关性的判别法.2、齐次微分方程组的解组线性无关性的判别法（P129推论3.3），基本解组的定义和基本解矩阵的定义（P129）。会求解组的朗斯基行列式，会验证方程的基本解组。3、掌握一阶线性齐次方程组的通解结构定理（P130定理3.6）定义3.1设)(,),(),(21xYxYxYm是m个定义在区间I上的n维向量函数.mCCC,,,21，使得常数0)()()(2211xYCxYCxYCmm在区间I上恒成立，性相关；否则称它们在区间I上线性无关.如果存在m个不全为零的则称这m个向量函数在区间I上线由这些列向量所组成的矩阵的行列式111212122212()()()()()()()()()()nnnnnnyxyxyxyxyxyxWxyxyxyx称为向量组(3.10)的朗斯基(Wronski)行列式.n个n维向量函数组)(,),(),(21xYxYxYn(3.10)定理3.3如果向量组(3.10)在区间I上线性相关，则它们的朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零.推论3.1如果向量组(3.10)的朗斯基行列式W(x)在0()0,Wx则向量组(3.10)在I上线性无关.区间I上的某一点处不等于零，即0x线性相关线性无关向量函数组向量函数组线性相关性的判别法：()0Wx0()0Wx齐次方程组的解组线性相关性的判别法：推论3.3方程组(3.8)的n个解在其定义区间I上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上任一点不为零.线性相关线性无关解组0()=0Wx0()0Wx我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n个线性无关解称为它的基本解组。其对应的矩阵称为基本解矩阵。定理3.6如果12(),(),,()nYxYxYx是齐次方程组(3.8)的基本解组，则其线性组合1122()()()()nnYxCYxCYxCYx(3.12)是齐次方程组(3.8)的通解,其中12,,,nCCC为n个任意常数。齐次方程组的通解结构定理：注：定理表明一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解的全体构成一个n维线性空间.四、一阶线性非齐次微分方程组的一般理论1、掌握一阶线性非齐次方程组的通解结构定理（P135定理3.10）2、掌握一阶线性非齐次方程组求特解的常数变易法（P136）一阶线性非齐次方程组()()dYAxYFxdx（3.7）非齐次方程组的通解结构定理：定理3.10：线性非齐次方程组(3.7)的通解等于其对应的齐次方程组(3.8)的通解与方程组(3.7)的一个特解之和.即若()Yx是非齐次方程组(3.7)的一个特解，解组，12(),(),,()nYxYxYx是对应齐次方程组(3.8)的一个基本1122()()()()()nnYxCYxCYxCYxYx(3.16)这里12,,,nCCC是任意常数则方程组(3.7)的通解为非齐次方程组的特解的常数变易法：求(3.7)的形如()()()YxxCx的解，其中12()()()()nCxCxCxCx为待定向量函数.(3.17)12(),(),,()nYxYxYx是对应的齐次方程组(3.8)的基本解组12()[(),(),,()]nxYxYxYx，将(3.17)代入(3.7)有()()()xCxFx(3.18)积分得01()()()xxCxtFtdt0xI为中任一点,01()()()()xxYxxtFtdt于是得到非齐次方程组(3.7)的通解公式01()()()()()xxYxxCxtFtdt(3.19)上式代入(3.17)得到五、常系数线性微分方程组的解法1、掌握常系数线性齐次方程组的求解方法;ddYAYx(3.20)定理3.11：如果方程组(3.20)的系数阵A的n个特征根12,,,