2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编：H单元-解析几何

数学H单元解析几何H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程14．、[2014·湖北卷]设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)0，对任意a0，b0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)，例如，当f(x)＝1(x0)时，可得Mf(a，b)＝c＝a＋b2，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数．(1)当f(x)＝________(x0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；(2)当f(x)＝________(x0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数2aba＋b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1)x(2)x(或填(1)k1x；(2)k2x，其中k1，k2为正常数)[解析]设A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c，0)，则此三点共线：(1)依题意，c＝ab，则0－f（a）c－a＝0＋f（b）c－b，即0－f（a）ab－a＝0＋f（b）ab－b.因为a0，b0，所以化简得f（a）a＝f（b）b，故可以选择f(x)＝x(x0)；(2)依题意，c＝2aba＋b，则0－f（a）2aba＋b－a＝0＋f（b）2aba＋b－b，因为a0，b0，所以化简得f（a）a＝f（b）b，故可以选择f(x)＝x(x0)．20．[2014·江西卷]如图1­7所示，已知双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．图1­7(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：x0xa2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝32相交于点N.证明：当点P在C上移动时，|MF||NF|恒为定值，并求此定值．20．解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝a2＋1.由题意，直线OB的方程为y＝－1ax，直线BF的方程为y＝1a(x－c)，所以Bc2，－c2a.又直线OA的方程为y＝1ax，则Ac，ca，所以kAB＝ca－－c2ac－c2＝3a.又因为AB⊥OB，所以3a·－1a＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)由(1)知a＝3，则直线l的方程为x0x3－y0y＝1(y0≠0)，即y＝x0x－33y0(y0≠0)．因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M2，2x0－33y0，直线l与直线x＝32的交点为N32，32x0－33y0，则|MF|2|NF|2＝（2x0－3）2（3y0）214＋32x0－32（3y0）2＝（2x0－3）29y204＋94（x0－2）2＝43·（2x0－3）23y20＋3（x0－2）2.又P(x0，y0)是C上一点，则x203－y20＝1，代入上式得|MF|2|NF|2＝43·（2x0－3）2x20－3＋3（x0－2）2＝43·（2x0－3）24x20－12x0＋9＝43，所以|MF||NF|＝23＝233，为定值．20．，，[2014·四川卷]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程．(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；②当|TF||PQ|最小时，求点T的坐标．20．解：(1)由已知可得a2＋b2＝2b，2c＝2a2－b2＝4，解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆C的标准方程是x26＋y22＝1.(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝m－0－3－（－2）＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝1m.直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得x＝my－2，x26＋y22＝1.消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)0.所以y1＋y2＝4mm2＋3，y1y2＝－2m2＋3，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝－12m2＋3.设M为PQ的中点，则M点的坐标为－6m2＋3，2mm2＋3.所以直线OM的斜率kOM＝－m3，又直线OT的斜率kOT＝－m3，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.②由①可得，|TF|＝m2＋1，|PQ|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（m2＋1）[（y1＋y2）2－4y1y2]＝（m2＋1）4mm2＋32－4·－2m2＋3＝24（m2＋1）m2＋3.所以|TF||PQ|＝124·（m2＋3）2m2＋1＝124m2＋1＋4m2＋1＋4≥124（4＋4）＝33.当且仅当m2＋1＝4m2＋1，即m＝±1时，等号成立，此时|TF||PQ|取得最小值．故当|TF||PQ|最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．H2两直线的位置关系与点到直线的距离21．、、[2014·全国卷]已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．21．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝8p，所以|PQ|＝8p，|QF|＝p2＋x0＝p2＋8p.由题设得p2＋8p＝54×8p，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．又直线l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－1my＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋4my－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－4m，y3y4＝－4(2m2＋3)．故线段MN的中点为E2m2＋2m2＋3，－2m，|MN|＝1＋1m2|y3－y4|＝4（m2＋1）2m2＋1m2.由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即4(m2＋1)2＋2m＋2m2＋2m2＋22＝4（m2＋1）2（2m2＋1）m4，化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.H3圆的方程9．、[2014·福建卷]设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A．52B.46＋2C．7＋2D．629．D[解析]设圆心为点C，则圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为C(0，6)，半径r＝2.设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则x2010＋y20＝1，即x20＝10－10y20，∴|CQ|＝10－10y20＋（y0－6）2＝－9y20－12y0＋46＝－9y0＋232＋50，当y0＝－23时，|CQ|有最大值52，则P，Q两点间的最大距离为52＋r＝62.H4直线与圆、圆与圆的位置关系10．、[2014·安徽卷]在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足OQ→＝2(a＋b)．曲线C＝{P|OP→＝acosθ＋bsinθ，0≤θ2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤|PQ|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则()A．1＜r＜R＜3B．1＜r＜3≤RC．r≤1＜R＜3D．1＜r＜3＜R10．A[解析]由已知可设OA→＝a＝(1，0)，OB→＝b＝(0，1)，P(x，y)，则OQ→＝(2，2)，|OQ|＝2.曲线C＝{P|OP→＝(cosθ，sinθ)，0≤θ2π}，即C：x2＋y2＝1.区域Ω＝{P|0r≤|PQ→|≤R，rR}表示圆P1：(x－2)2＋(y－2)2＝r2与P2：(x－2)2＋(y－2)2＝R2所形成的圆环，如图所示．要使C∩Ω为两段分离的曲线，则有1rR3.19．、、[2014·北京卷]已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．19．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2.故椭圆C的离心率e＝ca＝22.(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0x0.当x0＝t时，y0＝－t22，代入椭圆C的方程，得t＝±2，故直线AB的方程为x＝±2.圆心O到直线AB的距离d＝2，此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝y0－2x0－t(x－t)，即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.圆心O到直线AB的距离d＝|2x0－ty0|（y0－2）2＋（x0－t）2.又x20＋2y20＝4，t＝－2y0x0，故d＝2x0＋2y20x0x20＋y20＋4y20x20＋4＝4＋x20x0x40＋8x20＋162x20＝2.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．6．、[2014·福建卷]直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件6．A[解析]由直线l与圆O相交，得圆心O到直线l的距离d＝1k2＋11，解得k≠0.当k＝1时，d＝12，|AB|＝2r2－d2＝2，则△OAB的面积为12×2×12＝12；当k＝－1时，同理可得△OAB的面积为12，则“k＝1”是“△OAB的面积为12”的充分不必要条件．12．[2014·湖北卷]直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.12．2[解析]依题意得，圆心O到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a|2＝|b|2＝1×sin45°，得|a|＝|b|＝1.故a2＋b2＝2.15．、[2014·全国卷]直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．15.43[解析]如图所示，根据题意，OA⊥PA，OA＝2，OP＝10，所以PA＝OP2－OA2＝22，所以tan∠OPA＝OAPA＝222＝12，故tan∠APB＝2tan∠OPA1－tan2∠OPA＝43，即l1与l2的夹角的正切值等于43.15．[2014·山东卷]已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝4－x2关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．15．(210，＋∞)[解析]g(x)的图像表示圆的一部分，即x2＋y2＝4(y≥0