线性代数试题套卷及答案

第1页，共14页（线性代数）（A卷）专业年级：学号：姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设nmA为实矩阵,则线性方程组0Ax只有零解是矩阵)(AAT为正定矩阵的(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)无关条件。2．已知32121,,,,为四维列向量组，且行列式4,,,1321A，1,,,2321B，则行列式BA(A)40；(B)16；(C)3；(D)40。3．设向量组s，，，21)2(s线性无关，且可由向量组s，，，21线性表示，则以下结论中不能成立的是(A)向量组s，，，21线性无关；(B)对任一个j，向量组sj，，，2线性相关；(C)存在一个j，向量组sj，，，2线性无关；(D)向量组s，，，21与向量组s，，，21等价。4．对于n元齐次线性方程组0Ax，以下命题中，正确的是(A)若A的列向量组线性无关，则0Ax有非零解；(B)若A的行向量组线性无关，则0Ax有非零解；(C)若A的列向量组线性相关，则0Ax有非零解；(D)若A的行向量组线性相关，则0Ax有非零解。5．设A为n阶非奇异矩阵)2(n，A为A的伴随矩阵，则题号一二三总分总分人复分人得分得分评卷人√√第2页，共14页(A)AAA11||)(；(B)AAA||)(1；(C)111||)(AAA；(D)11||)(AAA。二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6．列向量111是矩阵2135212baA的对应特征值的一个特征向量.则＝，a＝，b＝。7．设n阶向量Txx)00(，，，，，0x；矩阵TEA,且TxEA11，则x_________。8．已知实二次型322123222132,12224),(xxxaxxxxxxxf正定,则常数a的取值范围为________________。9．设矩阵33)(jiaA，jiA是||A中元素jia的代数余子式，jijiAa，13121132aaa，已知011a，则11a。10．设403212221A，11a，已知向量A与线性相关，则a＝。三、分析计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)11．(1)求方程0)(xf的根，其中2123112362543122)(22xxxf；得分评卷人得分评卷人第3页，共14页(2)计算n阶行列式nnnnnnnnxxxxyxxxyxxxyxxxyxxxD121121121121。12．设实向量Taaa321，其中01a，3T，矩阵TEA(1)试说明矩阵A能相似于对角阵；(2)求可逆矩阵P，使APP1为对角阵，并写出此对角阵；(3)求行列式||EA。第4页，共14页13．已知线性方程组2)1(2221)1(321321321kxxkkxxkxkxxxkkx，试讨论：(1)k取何值时，方程组无解；(2)k取何值时,方程有唯一解，并求出其解；(3)k取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。14.设实二次型323123212221321845452)(xxxxxxxxxxxxf，，，求：正交变换yQx，将f化为标准型。第5页，共14页15.设3R的基为1111，0112，0013。(1)试由321，，构造3R的一个标准正交基321，，；(2)求由基321321，，到，，的过渡矩阵P；(3)已知向量321，求向量在基321，，下的坐标。第6页，共14页线性代数期末试卷（A）参考答案一、选择题1.(C)2.(D)3.(B)4.(C)5.(A)二、填空题6．-1,-3,0；7.1；8.2/7||a；9．76；10.－1。三、计算题11．（1）)9)(1(5)(22xxxf，x1，－1，3，－3；（4分）（2）nininnyxyD112)1()()1(。（10分）12．(1)A为实对称矩阵，所以相似于对角阵。(2分)(2)因为2)()(TTEA，所以21是A的特征值。又秩1)(Tr，0||||TAE，所以132是A的另两个特征值。设Txxx),,(321为A对应132的特征向量，则由0),(332211xaxaxa，得A对应132的线性无关的特征向量TTaaaa),0,(,)0,,(132121，令13123212100),,(aaaaaaaP则1000100021APP。(7分)(3)EA的特征值为－2＋1=－1，1+1=2，1+1=2，因此4||EA。(10分)13．(1)0k时，3)(2)(ArAr，无解(2分)(2)20kk，时，3)()(ArAr，唯一解TTkkxxx)0,1,2(),,(321(6分)(3)2k时，2)()(ArAr，无穷多解,通解201010321cxxx。(10分)第7页，共14页14．32534513253503153252Q；(8分)23222110yyyf。(10分)15．(1)111311,211612,011213，（3分）(2)3001202222361),,(),,(3211321P（6分）(3)321216336123（10分）注：本题答案不唯一，如0011，0102，1003，则001011111P，32123（线性代数）（B卷）专业年级：学号：姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设33)(jiaA的特征值为1，2，3，jiA是行列式||A中元素jia的代数余子式，则)(||3322111AAAA－＝（）题号一二三总分总分人复分人得分得分评卷人○密封线内○不要答题○√√第8页，共14页a.621；b.611；c.311；d.6。2．已知AAPPaaaaaaaaaAPnm若，，333231232221131211001010100，则以下选项中正确的是（）a.45nm，；b.55nm，；c.54nm，；d.44nm，。3．n维向量)3(,,21nss线性无关的充要条件是（）a．存在不全为零的数skkk,,21，使02211sskkk；b．s,,21中任意两个向量都线性无关；c．s,,21中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；d．s,,21中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。4．设BA，是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中21kk，为任意常数）（）a.BA＋；b.BA；c.BA；d.BkAk21＋。5．已知矩阵222222aaaA，伴随矩阵0A，且0xA有非零解，则（）a.2a；b.2a或4a；c.4a；d.2a且4a。二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6．设行列式300002010D，jiA是D中元素jia的代数余子式，则3131ijjiA＝。7．设A是实对称可逆矩阵，则将AXXfT化为YAYfT1的线性变换为____________________。得分评卷人第9页，共14页8．设矩阵53342111xA有特征值6，2，2，且A能相似于对角阵，则x＝___________。9．已知0是n维实列向量，矩阵TkEA，k为非零常数，则A为正交矩阵的充分必要条件为k。10.设232221321111aaaaaaA，111b，其中ia互不相同，3,2,1i，则线性方程组bxAT的解是___________。三、分析计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)11．计算n阶行列式：nnnnnnnnxxxyxxxyxxxyxxxyxxxxD121121121121。12．已知线性方程组bxaxxxxxx321312111，得分评卷人第10页，共14页（1）试问：常数ba，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。13．设111111aaaA，211，已知线性方程组Ax有解但不唯一。试求：（1）a的值；（2）正交矩阵AQQQT使得，为对角矩阵。第11页，共14页14．设矩阵A的伴随矩阵8030010100100001*A，且EBAABA311。求矩阵B。15．已知线性空间3R的基321，，到基321，，的过渡矩阵为P，且1011，0102，2213；034223122P试求：(1)基321，，；(2)在基321321,,,,与下有相同坐标的全体向量。第12页，共14页线性代数期末试卷（B）参考答案一选择题1.b2.d3.c4.a5.c二填空题6.－11；7.YAX1；8.2x；9．2||2k；10.T001；三计算题第13页，共14页11.)()1(112)1(niinnnxyyD。(10分)12.（1）110101100201Aab1,2ba无穷多解；2a唯一解；1,2ba无解（5分）（2）Rkkxxx,111001321（10分）13.解：（1）方程组AX有解但不唯一，所以3)()(ArAr，故2a。（3分）（2）特征值为31，32，03。（6分）31612131620316121Q，000030003AQQT。（10分）14．由1*||||nAA，有8||3A，得2||A。（3分）用*A，A左右乘方程的两端，得EBAE6)2(*（6分）1*)2(6AEB1030060600600006603001010010000161（10分）15．（1）设),,(321A,),,(321B,则APB，故第14页，共14页101161，