平行四边形的性质和判定

1平行四边形的性质和判定基础知识点知识点1平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作“□ABCD”。知识点2平行四边形的性质：边：对边平行且相等。角：对角相等，邻角互补。对角线：对角线互相平分。知识点3平行四边形的判定：边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。、知识点4两条平行线的距离。知识点5三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。典型例题例1、如图，EF，是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CEAF．猜想：BE与DF有怎样的位置．．关系和数量．．关系？并对你的猜想加以证明。ABCDABCDEF2【变式练习】已知，在□ABCD中，点E、F分别在AD、CB的延长线上，且∠1=∠2，DF交AB于G，BE交CD于H。求证：EH=FG。例2、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD交于F。求证：四边形AECF是平行四边形。例3、▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，线DC于点F（1）求证：CE=CF；（2）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，求∠BDG．【变式练习】1、如图,在ABCD中，AE=CF，M、N分别ED、FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．AGFBCDHE21ABFCMDNE32、在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE=BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．例4、如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边中点，求证四边形EFGH是平行四边形。【变式练习】1．在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（）A．2cm＜OA＜5cmB．2cm＜OA＜8cmC．1cm＜OA＜4cmD．3cm＜OA＜8cmABCDEFGH42、如图：点E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH是什么图形？并说明理由。4如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则四边形ABCD的面积为．ABCDEFGH5例5、如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tanB=2。（1）求证：AD=AE；（2）如图，点P在线段BE上，作EF⊥DP与点F，连接AF。求证：DF－EF=AF；（3）当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合时），作EF⊥直线DP，垂足为点F，连接AF。线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论。思维误区误区一：不能正确地理解平行四边形的判定方法误区二：不注意分类误区三：错误地运用条件方法规律概念规律关键平行四边形的定义两组对边分别平行平行四边形的性质合理运用到题中，选取正确快捷的方法平行四边形的判定结合图形与条件，选择正确的判定方法三角形的中位线注意构造和应用巩固练习1、已知四边形ABCD中，AB∥DC，则可以添加条件____________________，使四边形ABCD是平行四边形。(图形中不再添加辅助线)62、□ABCD中，AC、BD相交于点O，8,12,20ABACBD，则AOB的周长为_______，AOB的面积为_______。3、如图所示，在▱ABCD中，AB=5，AD=8，DE平分∠ADC，则BE=4、从平行四边形的一个锐角的顶点做两条高线，如果这两条高线的夹角是135°，这个平行四边形的锐角的度数是．5、如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点，当四边形ABCD满足条件时，△PBA的面积始终保持不变。（注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）6、如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是_______cm．7、能判别一个四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等8、如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DEA等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°9、顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形10、如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（）A.8.3B.9.6C.12.6D.13.67ABFOCED11、已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，求证：BE=CF。12、已知：如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、AB上DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．13、如图,在四边形ABCD中，AD∥BC，OE=OF，OA=OC．求证：四边形ABCD是平行四边形．14、已知：ABCD中，直线MN//AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。15、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于E，如果∠CEM=40°，则∠DME的度数是多少度。ABCDMNPQ816、已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．（1）如图，若PE=3，EO=1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+32-4，求BC的长．17、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不必证明）（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME=∠CNE）（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交CD、BA于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论.（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD形状并证明.）图（121HNMFEDCABNMEFOABCD）图（2ECBFADG）图（3918、如图，在菱形ABCD与菱形BEFG中，点A，B在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及PG：PC的值。（1）写出上面问题中PG与PC的位置关系及PG：PC的值；（2）将菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一直线上，原问题中其他条件不变。你在（1）中得到两个结论，它们是否变化？写出你的猜想并加以证明。（3）若∠ABC=∠BEF=2а（0°＜а＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中其他条件不变，请你直接写出PG：PC的值。