排列与组合习题课23(4).

1.2排列与组合第一章第2课时组合(二)1.2.2组合掌握有限制条件的组合问题的基本解法，提高分析问题与解决问题的能力．重点：有限制条件的组合问题及组合的应用．难点：有限制条件的组合问题．温故知新回顾复习排列、组合的定义、公式、性质和有限制条件的排列问题常见类型及解决方法．有限制条件的组合问题新知导学1．解答组合应用题的总体思路(1)整体分类对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于________，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于________，以保证分类的不重复，计算其结果时，使用分类加法计数原理．(2)局部分步整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的______．计算每一类相应的结果时，使用分步乘法计数原理．全集空集不重复(3)考查顺序区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用__________解答，有序的问题属__________问题．(4)辩证地看待“元素”与“位置”排列组合问题中的元素与位置，要视具体情况而定，有时“定元素选位置”，有时“定位置选元素”．(5)把实际问题抽象成组合模型认真审题，把握问题的本质特征，抽象概括出常规的数学模型．组合排列2．解答组合应用题的思想方法(1)一一对应的思想．(2)特殊到一般的归纳推理方法．(3)正难则反的转化与化归思想．(4)“含”与“不含”某元素的分类讨论思想．牛刀小试1．(2015·宝鸡市金台区高二期末)现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为()A．232种B．252种C．256种D．472种[答案]D[分析]利用间接法，先按没有限制条件选取，再排除有限制条件的，问题得以解决．[解析]由题意，不考虑特殊情况，共有C316＝560种取法，其中3张卡片同色的有4C34＝16种取法，其中两张红色卡片的共有C24C112＝72种取法，故所求的取法共有560－16－72＝472种．故选D．2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A．14B．24C．28D．48[答案]A[解析]用间接法得不同选法有C46－1＝14种，故选A．3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方式共有()A．4种B．10种C．18种D．20种[答案]B[解析]分两类：第一类，取出两本画册，两本集邮册，从4人中选取2人送画册，则另外两人送集邮册，有C24种方法．第二类，3本集邮册全取，取1本画册，从4人中选1人送画册，其余送集邮册，有C14种方法，∴共有C14＋C24＝10种赠送方法．4．从1、2、3、5、7这五个数字中任取2个，能组成的真分数个数是________.[答案]10[解析]由题意知这是一个组合问题，个数为C25＝10个．5．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行．(1)它们共能构成________个平行四边形；(2)共有________个交点．[答案]126080[解析](1)第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有C28C210＝1260(个)．(2)第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有C18C110＝80(个)．6．某车间有11名工人，其中有5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床，不同的选派方法有________种．[答案]185[解析]分三类，第一类，从5名钳工中选4人干钳工，从4名车工和另2名既会车工又会钳工的6人中选4人干车工，有C45C46＝75种选法；第二类，从5名钳工中选3人，再从既会车工又会钳工的2人中选1名干钳工，从4名车工和剩下的一名既会车工又会钳工的工人中选出4名干车工有C12C35C45＝100种(选法)；第三类，从5名钳工中选2人，和2名既会车工又会钳工的2人共4人干钳工，4名只会车工的工人全部干车工，有C25·C22·C44＝10种选法．由分类加法计数原理知，不同的选派方法共有75＋100＋10＝185种．(2013·晋中祁县二中高二期末)从4名男生，3名女生中选出3名代表，(1)不同的选法共有多少种？(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种？(3)代表中男、女都要有的不同的选法共有多少种？[分析](1)不受限制，从7人中任意选3人，按组合定义计算；(2)“至少一女”的对立事件为“全是男生”，可用间接法计算；(3)“代表中男、女生都要有”，即1男2女或2男1女，可分类求解，也可间接求解．简单的组合应用题[解析](1)即从7名学生中选出三名代表，共有选法C37＝35种．(2)至少有一名女生的不同选法共有C13C24＋C23C14＋C33＝31种，或C37－C34＝31种．(3)男、女生都要有的不同的选法共有C37－C34－C33＝30种，或C14C23＋C24C13＝30种．[方法规律总结]解答组合应用题的基本思想是“化归”，即由实际问题来建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而得出实际问题的解．其关键环节是分析判断实际问题有无顺序．元素顺序改变不影响其结果的便是组合问题．在一个口袋中装有12个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个黑球的概率是511.求：(1)袋中黑球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，求至少得到2个黑球的概率．[解析](1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件A，设袋中黑球的个数为x，则P(A)＝1－P(A)＝1－C212－xC212＝511，解得x＝3或者x＝20(舍去)，故黑球为3个．(2)记“从袋中任意摸出3个球，至少得到2个黑球”为事件B，则P(B)＝C23C19＋C33C312＝755.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．分类讨论思想[分析]由题目可获取以下主要信息：①至少一名队长当选可分为一名队长当选和两名队长当选两类情况讨论；②至多两名女生当选可分为两名女生，一名女生和没有女生当选三类情况；③既要有队长，又要有女生当选，可把身兼“双重角色”的女队长作为特殊元素，以其当选和不当选为依据分类讨论．解答本题可先根据题意适当分类，再用分类加法计数原理求解．[解析](1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825(种)．或采用排除法有C513－C511＝825(种)．(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)．(3)分两种情况：第一类：女队长当选，有C412种；第二类：女队长不当选，有(C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44)种．故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)．[方法规律总结]解答有限制条件的组合问题，要先明确限制条件．当限制条件为“含有”或“不含”某元素时，可直接分步处理；当限制条件中有“至多”、“至少”的要求时，可分类求解或用间接法求解．用直接法求解时依然坚持特殊元素优先选取、特殊位置优先安排的原则．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是()A．40B．74C．84D．200[答案]B[解析]分三类，前5个题目中选取3个或4个或5个，∴考生答题的不同选法种数有：C35·C34＋C45·C24＋C55·C14＝74.平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？[分析]该问题显然可看作一个组合问题，但应注意有4个点共线这一限制条件．几何中的组合问题[解析]我们把从共线的4个点取点的多少作为分类的标准．第1类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有C24·C18＝48个不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有C14·C28＝112个不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．[方法规律总结]要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．处理几何中的计数问题时要抓住“对应关系”，如不共线三点对应一个三角形，不共面四点可以确定一个四面体等．可借助于图形思考问题，要善于利用几何的有关性质或特征解题．避免重复或遗漏．空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？[解析]这个问题可分四类加以考虑．①5个共面点确定1个平面；②5个共面点中任何2个点和其余7个点中任意一点确定7C25个平面；③5个共面点中任一点和其余7个点中任意2个点确定5C27个平面；④7个点中任何3个点确定C37个平面．∴总共确定平面的个数为1＋7C25＋5C27＋C37＝211(个)．用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数数字与2个偶数数字的五位数有多少个？[分析]取出数字组成五位数是排列问题；10个数字中含有0,0不能排在首位，求解应分“不含0”和“含有0”两类；特殊元素应优先安排，部分元素参与排列应先选后排，可用直接法也可用间接法求解．直接法，先按是否含0分类，再选择参与排列的奇数和偶数数字，最后排列，再按分类加法原理计数．排列组合综合问题探究思路[解析]解法1：(直接法)：把从5个偶数中任取2个分为两类(1)不含0的：由3个奇数数字和2个偶数数字组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有C35C24种；第2步，对选出的5个数字全排列有A55种方法．故所有适合条件的五位数有C35C24A55个．(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A14种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C14种取法，从5个奇数数字中任取3个，有C35种取法，再把取出的4个数全排列有A44种方法，故有A14C14C35A44种排法．根据分类加法计数原理，共有C35C24A55＋A14A14C35A44＝11040个符合要求的数．解法2：(间接法)：如果对0不限制，共有C35C25A55种，其中0居首位的有C35C14A44种．故共有C35C25A55－C35C14A44＝11040个符合条件的数．[方法规律总结]解答数字排列组合题时，要特别注意关注题目中是否有下列要求：(一)是否允许数字重复；(二)是否含0(0不能排在首位)；(三)有无奇数、偶数，被某数整除等要求？(四)是否要求奇偶数字相间、相邻、不相邻等？是否要求某些数字升序(或降序)排列或某个数位上的数字小于(或大于)另一数位上的数字等？(五)是否比某数大(或小)；(六)选排列问题是否要求选取的数字具备某些条件(如构成等差或等比数列)；(七)其它附加限制条件(如对数的底数不解为1等)．将数字1、2、3、4、5、6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1N2N3的所有排法的种数是________.(用数字作答)[答案]240[解析]由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为A13A25＝60(或C25A33＝60)，剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为A12A12＝4(或C12A22＝4)，由分步乘法计数原理知满足条件的排法的种数是240.正确区分分堆与分配问题有12本不同的书，分成4堆．(1)若每堆3本，有几种方法？(2)若4堆依