2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

12013年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝()．A．{1,4}B．{2,3}C．{9,16}D．{1,2}【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。【解析】∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i1i＝()．A.−1−12𝑖B．11+i2C．1+12𝑖D．1−12𝑖【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。【解析】212i12i12ii2i1i2i22＝11+i2.3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()．A．12B．13C．14D．16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13.4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C：2222=1xyab(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()．A．y=±14𝑥B．y=±13𝑥C．12yxD．y=±𝑥【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。【解析】∵52e，∴52ca，即2254ca.2∵c2＝a2＋b2，∴2214ba.∴12ba.∵双曲线的渐近线方程为byxa，∴渐近线方程为12yx.故选C.5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()．A．p∧qB．p∧qC．p∧qD．p∧q【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。【解析】由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题．故选B.6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()．A．𝑆𝑛=2𝒶𝑛−1B．𝑆𝑛=3𝒶𝑛−2C．𝑆𝑛=4−3𝒶𝑛D．𝑆𝑛=3−2𝒶𝑛【答案】D【考点】本题主要考查等比数列前n项和公式。【解析】11211321113nnnnaaaqaqSqq＝3－2an，故选D.7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()．A．[－3,4]B．[－5,2]C．[－4,3]D．[－2,5]【答案】A【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。【解析】当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．当1≤t≤3时，s＝4t－t2.∵该函数的对称轴为t＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴smax＝4，smin＝3.∴s∈[3,4]．3综上知s∈[－3,4]．故选A.8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()．A．2B．22C．23D．4【答案】C【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。【解析】利用|PF|＝242Px，可得xP＝32.∴yP＝26.∴S△POF＝12|OF|·|yP|＝23.故选C.9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]的图像大致为()．【答案】C【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。【解析】由f(x)＝(1－cosx)sinx知其为奇函数．可排除B．当x∈π0,2时，f(x)＞0，排除A.当x∈(0，π)时，f′(x)＝sin2x＋cosx(1－cosx)＝－2cos2x＋cosx＋1.令f′(x)＝0，得2π3x.故极值点为2π3x，可排除D，故选C.10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()．A．10B．9C．8D．5【答案】D【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。【解析】由23cos2A＋cos2A＝0，得cos2A＝125.∵A∈π0,2，∴cosA＝15.∵cosA＝2364926bb，∴b＝5或135b(舍)．故选D.11．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．16＋8πB．8＋8π4C．16＋16πD．8＋16π【答案】A【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V半圆柱＝12π×22×4＝8π，V长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.12．(2013课标全国Ⅰ，文12)已知函数f(x)＝22,0,ln(1),0.xxxxx若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]【答案】D【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。【解析】可画出|f(x)|的图象如图所示．当a＞0时，y＝ax与y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C；当a≤0时，若x＞0，则|f(x)|≥ax恒成立．若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x2＋2x|相切为界限，由2,2,yaxyxx得x2－(a＋2)x＝0.∵Δ＝(a＋2)2＝0，∴a＝－2.∴a∈[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷（选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝______.【答案】2【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。【解析】∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝111122.∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0.∴12t＋1－t＝0.∴t＝2.14．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x，y满足约束条件513,10,xxy则z＝2x－y的最大值为______．【答案】3【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。【解析】画出可行域如图所示．画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.15．(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．【答案】9π2【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。【解析】如图，设球O的半径为R，则AH＝23R，OH＝3R.又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.∵在Rt△OEH中，R2＝22+13R，∴R2＝98.∴S球＝4πR2＝9π2.16．(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝______.【答案】255【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。【解析】∵f(x)＝sinx－2cosx＝5sin(x－φ)，其中sinφ＝255，cosφ＝55.当x－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)取最大值．即θ－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，θ＝2kπ＋π2＋φ(k∈Z)．∴cosθ＝πcos2＝－sinφ＝255.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；6(2)求数列21211nnaa的前n项和．【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。【解析】(1)设{an}的公差为d，则Sn＝1(1)2nnnad.由已知可得{3𝑎1+3d=05𝑎1+10d=−5解得a1＝1，d＝－1.故{an}的通项公式为an＝2－n.(2)由(1)知21211nnaa＝1111321222321nnnn，从而数列21211nnaa的前n项和为1111111211132321nn＝12nn.18．(2013课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。【解析】(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得7x＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．19．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力。【解析】(1)取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋21OA，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.820．(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(