第20章 锐角三角函数及解直角三角形

第1页（共52页）第二十章锐角三角函数及解直角三角形29.1锐角三角函数以及特殊角（2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（）A.12B.22C.32D.1【解析】sin45°=22【答案】B【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为A．12B．55C．1010D．255【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝CDAC＝210＝55．【答案】B【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．29.2三角函数的有关计算CBA图4CBA图4D第2页（共52页）（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B.2003米C.2203米D.100(31)米解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tan,tanCDCDABADDB，又CD=100，因此AB=AD+DB=001001001003100tantantan30tan45CDCDAB。答案：D点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。(2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23,则BC的长为（A）4(B)25(C)181313(D)121313【解析】由三角函数余弦的定义cosB=BCAB=23，又∵AB=6∴BC=4,故选A【答案】A【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是.（结果保留根号）8题图ABC第3页（共52页）解析：由已知条件，可知△BDC、△ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证△BDC∽△ABC，则有BCDCACBC，设BC=x，则DC=1-x，因此21,101xxxxx即，解方程得，125151,22xx（不合题意，舍去），即AD=512；又cosA=115124515122ABAD答案：5151,24点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。（2012连云港，3，3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是ECDABFA.3+1B.2+1C.2.5D.5【解析】注意折叠后两点对称，也就是说△ABE和△AEF都是等腰三角形。得到67.5°的角为∠FAB。【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=2x,于是BF=（2+1）x.在直第4页（共52页）角三角形ABF中，tan∠FAB=(21)BFxABx=2+1=tan67.5°.选B。【点评】根据折叠得到A、E关于折痕对称，从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出两线段的长。(2012山东德州中考,7,3,)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）（A）1组（B）2组（C）3组（D）4组【解析】对于①，可由公式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；对于②，可设AB的长为x，则BC=xtanACB∠，BD=xtanADB∠，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，易知△DEF∽△DBA，则DEBDEFAB，可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、③三个，故选C．【答案】C．【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．（2012贵州铜仁，22，10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan,即ctan=BCAC的对边角的邻边角，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30◦=；（2）如图，已知tanA=43，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30◦。ABCDEFF22题图第5页（共52页）（2）由tanA=43，为了计算方便，可以设BC=3AC=4根据余切定义就可以求出ctanA的值．【解析】（1）设BC=1,∵α=30◦∴AB=2∴由勾股定理得：AC=3ctan30◦=BCAC=3(2)∵tanA=43∴设BC=3AC=4∴ctanA=BCAC=34【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和直角三角形的性质，锐角三角函数往往和直角三角形联系在一起考查。命题时常常和现实中的一些实际问题结合在一起。需要注意的是，在运用三角函数概念及其关系式时，计算易错，名称易混淆；特殊角的三角函数值易混淆，也容易把一个角与其余角的三角函数值混淆。（2012浙江丽水4分，16题）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°.（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________；（2）若射线EF经过点C，则AE的长是________.【解析】：AE=21AB=3.在Rt△ADE中，tan∠ADE=33ADAE=3.所以∠ADE=60°，所以第6页（共52页）DE=32213cosADEAD，∠AED=∠EDF=∠BEF=30°，所以ED=EF.过点E作EG⊥DC于G，则DF=2DG=2×DE·cos30°=2×23×23=6；（2）过C作CH⊥直线AB于E，那么CH=AD=3，由勾股定理D得BH=1。所以CD=7。易知△BCE～△EDC，所以BE：CE=CE：CD，所以CE2=CD×DC，设BE=x，则CE2=7x。在Rt△CEH中，由勾股定理得CE2=EH2+CH2，得（x+1）2+3=7x，解之，得x=1或4。当x=1时，AE=5；当x=4时，AE=2。故AE的长为5或2。【答案】：（1）6；（2）2或5【点评】：本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知识，应注意知识点的融会贯通.本题具有一定的难度.（2012江苏泰州市，18,3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．【解析】要求tan∠APD的值，只要将∠APD放在直角三角形中，故过B作CD的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可．【答案】作BM⊥CD，DN⊥AB垂足分别为M、N，则BM=DM=22，易得：DN=1010，设PM=x，则PD=22-x，由△DNP∽△BMP，得：PNDNPMBM，即101022PNx，∴PN=55x，由DN2+PN2=PD2，得：110+15x2=(22-x)2，解得：x1=24，x2=2（舍去），∴tan∠APD=2224BMPM=2．【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础，还要注意网格中线段的长度都可以在直角三角形中去解决．第7页（共52页）（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B.2003米C.2203米D.100(31)米解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tan,tanCDCDABADDB，又CD=100，因此AB=AD+DB=001001001003100tantantan30tan45CDCDAB。答案：D点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是.（结果保留根号）解析：由已知条件，可知△BDC、△ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证△BDC∽△ABC，则有BCDCACBC，设BC=x，则DC=1-x，因此21,101xxxxx即，解方程得，125151,22xx（不合题意，舍去），即AD=512；又cosA=115124515122ABAD答案：5151,24第8页（共52页）点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。（2011山东省潍坊市，题号9，分值3）9、轮船从B处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里A．325B．225C．50D．25考点：方位角和等腰三角形的判定解答：根据路程=速度时间得BC=50×0.5=25海里；根据方位角知识得，∠BCD=30°，=75°－30°；CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°；∠A=∠CBD=45°所以CA=CB所以CB=25海里，本题正确答案是D点评：本题考查了方位角和等腰三角形的判定的有关知识。在解决方位角问题时，利用平行线的有关知识得到角度的关系，从而得到线段的关系是解决问题的常用方法和思路。（2012湖北襄阳，10，3分）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图5，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为A．(43＋1.6)mB．(123＋1.6)mC．(42＋1.6)mD．43m第9页（共52页）【解析】如下图，过点A作AF⊥CD于F，则AF＝BD＝12m，FD＝AB＝1.6m．再由OE∥CF可知∠C＝∠AOE＝60°．所以，在Rt△ACF中，CF＝tan60AF＝43，那么CD＝CF＋FD＝(43＋1.6)m．【答案】A【点评】通过作高将问题转化为解直角三角形问题是解答关键，其间需要具有良好的阅读理解能力，能将对应线段和角之间的关系理清．（2012浙江丽水4分，16题）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°.（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________；（2）若射线EF经过点C，则AE的长是________.【解析