§1.2.2《同角三角函数的基本关系》资料

§1.2.2同角三角函数的基本关系（第一课时）【学习目标】1﹑知道同角三角函数的基本关系.2﹑知道同角三角函数的基本关系的推导.探究一、同角三角函数的基本关系及公式推导：xy),(yxPxyO问题1﹑设是任意一个角，它的终边上任意点),(yxP，那么那么：r；sin=；cos=；tan=；问题2﹑用三角函数的定义你能否推出同角三角函数的基本关系？问题1﹑设是任意一个角，它的终边上任意点),(yxP，那么那么：r；sin=；cos=；tan=；问题2﹑用三角函数的定义你能否推出同角三角函数的基本关系？r；22yx222ryx___;cot)4(___;tan)3(___;cos)2(___;sin)1(___;cot)4(___;tan)3(___;cos)2(___;sin)1(___;cot)4(___;tan)3(___;cos)2(___;sin)1(ryrx二、新知探究),2(Zkk自主探究：（预习教材P18-P20）一、知识回顾2222rxry222ryy22rr1同角三角函数的基本关系公式推导：rxrycos,sin∵2222)()(cossinrxry∴rxrycossinxytan∴1cossin22∴tancossin知识点1：同角三角函数的基本关系(1)平方关系:；即的正弦、余弦的平方和等于；(2)商数关系:；即的正弦、余弦的商等于；1cossin22),2(Zkk同一个角同一个角1tancossin正切1.公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立.如:sin230º+cos260º≠1.注意：加强对平方关系及商数关系的理解：2.同角不要拘泥于形式，，,等等都可以.如：4214cos4sin2214cos4sin2222sin(sin)a14cos4sin2222sin(sin)a1)(cos)(sin222cos2sin2tan2cos2sin2tan5.对平方关系及商数关系不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）.3.商数关系中注意限制条件.即cosα≠0.α≠kπ+，k∈Z.24.利用平方关系及商数关系，只要知道一个就可以求出其它二个（知一求二）．探究二、平方关系及商数关系的变形：1、由可变形得：22sincos122sin1cos,22cos1sin,1cossin,sin1cosaaaa+=-1sincos.cos1sinaaaa+=-22sin1cos,22cos1sin,1cossin,sin1cosaaaa+=-2(sincos)12sincos,aaaa-=-1sincos.cos1sinaaaa+=-2(sincos)12sincos,aaaa+=+知识点2：公式变形)sin1)(sin1()cos1)(cos1(2)cos(sincossin212)cos(sincossin212、对于商数关系可变形得：sintancos3、结合平方关系和商数关系(或三角函数定义）可变形得：tancossinsincos.tan221cos,1tanaa=+222tansin.1tanaaa=+tancossinsincos.tan221cos,1tanaa=+222tansin.1tanaaa=+例1.已知，且是第三象限角，3sin5cos,tan求的值。解：∵1cossin22∴2516531sin1cos222第三象限角∵43cossintan知识点3:同角三角函数的基本关系及其应用问题4﹑若去掉条件为第三象限的角，可能为第几象限的角？分别求出cos，tan的值.54cos∴已知,求的值.53sintan,cos变式1、从而解:∵,1sin,0sin∴是第三或第四象限角.由得1cossin22.2516531sin1cos222如果是第三象限角,那么.542516cos.434553cossintan如果是第四象限角,那么.43tan,54cos小结:当角的象限不明确时,要注意根据已知角的三角函数值分象限进行讨论.例2、已知，求的值。3tan4sin,cos解：3tan04yxIIII或（1）当时I0,0xy3sin5yr不妨设x=4，y=3225rxy4cos5xr（2）当时III0,0xy3sin5yr不妨设x=-4，y=-3225rxy4cos5xr方法二、同角三角函数的基本关系由题意得1cossin43cossin221cos)cos43(22解得54cos53sin方法一、三角函数定义法例2、已知，求的值。3tan4sin,cos222tan1tansin解：259169116953sin22tan11cos25161691154cos222tan1tansin22tan11cos方法三、公式法sincos.tansintan.cos2tan11costancossinsintan.cos2tan11costancossin1、若已知的值，如何求和的值？costansin2、若已知的值，如何求和的值？sincostan解题归纳2sin1例3、求证：xxxxcossin1sin1cos恒等式证明常用方法?基本思路:由繁到简可以从左边往右边证，可以从右边往左边证，也可以证明等价式。1cos0,sin0.注意：我们今后所见到的三角恒等式，除特殊注明的情况外，都是指两边都有意义情况下的恒等式。如本题中默认为：0cos,0sin1证法一：由原题知：0cos则1sin原式左边=)sin1)(sin1()sin1(cos2sin1)sin1(cos2cos)sin1(coscossin1=右边因此cossin1sin1cos恒等变形的条件应用同角关系式证明恒等式化繁为简证法二：2sin1)sin1)(sin1(因为2coscoscos∴cossin1sin1cos由原题知：0cos,0sin1恒等变形的条件分析法应用同角关系式证明恒等式coscos)sin1)(sin1(（∴原式成立）cossin1sin1cos例3、求证：证明：cossin1sin1coscos)sin1()sin1(cos220cos)sin1(coscos22因此cossin1sin1cos作差法应用同角关系式证明恒等式比较法证法三：BABA0cossin1sin1cos例3、求证：证明：因此cossin1sin1cos作商法比较法证法四：xxxxxxxxcoscossin1coscossin1sin1cosxxxxsin1cossin1cosxx22sin1cos1应用同角关系式证明恒等式BABBA)0(11、化繁为简：等价变形：从等式一边变形得到另一边；证明三角恒等式经常使用的方法：3、作差法：两式相减等于0；2、左右归一：证明左、右两边式子等于同一个式子4、作商法：两式相除等于1(保证分母不为零)。BABA0BABBA)0(1sin2α+cos2α=1tancossin平方关系商数关系1、同角三角函数的两个基本关系式(1)给定角的一个三角函数值，求这个角的其余三角函数值。2、应用：(2)化简三角函数式和证明三角恒等式。课堂小结3、应用的方法：正用,逆用、变形用.22sin1cos22cos1sinsincostansincostan2221costancos222sintan1sin作业：1、整理并完成学案；2、预习下一节“三角函数诱导公式”学习数学公式需要做好哪几件事？记住它！（通过分析式子的结构来记忆）明确公式成立的条件（何时“不必疑”？）熟悉公式的变形熟悉公式的一些典型应用熟悉应用公式时的易错点cossin和能否直接用tan来表示？思考因为,1cossin2222cos1sin又因为cossintan所以222cossintan22coscos11cos12于是22tan1cos122tan11cos222tan1tantan11122cos1sin又因为cossintan所以222cossintan221cos,1tanaa=+222tansin.1tanaaa=+2tan11221cos,1tanaa=+∴2222222211cosxyyxxrx∵222tansin.1tanaaa=+∴222222222222tan1tan1sinxyxyyxyry∵cossin和能否直接用tan来表示？思考2222cos5sincos3sin2)3(3cossin2sin4cos)2(cos9sin7cos3sin5)1(.5tan.，求下列各式的值已知：练习21)1(321)2(1320)3(9tan73tan5)cossin(3133122—的替换22cossin11看作分母为—的替换拓展延伸学习数学公式需要做好哪几件事？记住它！（通过分析式子的结构来记忆）明确公式成立的条件（何时“不必疑”？）熟悉公式的变形熟悉公式的一些典型应用熟悉应用公式时的易错点同角公式的应用sincostan2sincos已知求解：分子分母同时除以cosα得：sincossincoscossincossincoscossincoscoscossincoscoscostan1tan121321sintancos分析：练习2sin3costan3sin4cos(1)已知求221tan3sincos(2)已知求22tan3sin3cos(3)已知求222cossin1换为1