等差数列的判定和性质

等差数列的判定和性质一、等差数列的判定方法1、定义法：an－an－1=d(常数）2、数列｛an｝是等差数列的充要条件是：①｛pan+q｝成等差数列（p、q是常数）②2an+1=an+an+2(n∈N*）③前n项和Sn=An2+Bn(A、B是常数）证明：必要性若｛an｝是等差数列，则｛an｝前n项和2,2.)2(22)1(12121daBdABnAnndanddnnnaSn其中，的等差数列是公差为故数列则项和的前若数列充分性AaAaaNnBAAnnBAAnSSnBAaBnAnSnannnnnnnn2,2)(2)2(2)1(1*12二、等差数列的性质（1）an=am+(n－m)d,mnaadmn（2）m+n=p+q,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*)(特别是：m+n=2pam+an=2ap)（3）前n项和为n的二项式（d≠0时），且常数为0，即Sn=an2+bn;且a=d21）比项数减项数加）（中间项））项数与中间项的积））为奇数时，）当（偶奇偶奇11(1132(142121nnSSaSSanSnnnn（5）当n为偶数时中间两项的比））的积）项数与中间两项平均数）偶奇奇偶()322(21122122nnnnnaaSSdnSSaanS（6）前n项和Sn最大（最小）naaSndanaaSndannnnnn来确定可由不等式组最小，为何值时求在来确定可由不等式组最大，为何值时求）在00,0,0)200,0,011111三、等差数列｛an｝记A=a1+a2+…+an,,B=an+1+an+2+…+…+a2n,,C=a2n+1+a2n+2+…+a3n则A、B、C成等差数列，公差为n2d(其中d为｛an｝的公差）四、等比数列｛an｝记A=a1+a2+…+an,,B=an+1+an+2+…+…+a2n,,C=a2n+1+a2n+2+…+a3n则A、B、C成等比数列，公比为qn(其中q为｛an｝的公比）例题1已知项数为奇数的等差数列｛an｝,奇数项之和为44，偶数项之和为33，求项数n7,7711771133442121nnSSanSaSSSSnnn偶奇偶奇偶奇又，解：由题意，例2数列｛an｝中，a1=－60,且an+1=an+3,则这个数列前多少项之和最小？项和最小数列的前解得式解：由已知可得通项公2121,063)1(30633633)1(360nnnnnan例3已知数列｛an｝的前n项和Sn=10n－n2(n∈N*),又bn=│an│(n∈N*),求｛bn｝的前n项和Tn解：易得an=Sn－Sn－1=11－2n,(n≥2)，又a1=S1=9,∴an=11－2n,（n∈N*）∵a50,a60,∴当n≤5时，bn=an,Tn=Sn=10n－n2,当n5时，bn=－an,,Tn=2S5－Sn=50－(10n－n2)=n2－10n+50)5(5010)5(1022nnnnnnTn即1),2()1(2321)1(21),2(0242232211nnnnnnnnnnbbbnanbaSanSSaSna求证：）若（的表达式；）求（是等差数列；求证：，且满足项和的前已知数列例的值。试求）若（是等差数列；证明数列若）证明（论；的奇偶性并证明你的结判定都有，－、满足：对于任意的函数，－定义域为例)()()(,1)31(4)(),(2121)3(1)()(:2)()1(1)()(11)(11210021afafaffafNnaxyyxfyfxfxfxyyxfyfxfyxxfnnnn是奇函数则证明：令是奇函数)(0)0(1)()(0)0(),0()0()0(,0)()1(2xffxxxfxfxfffffyxxfxyyxfyfxfyfxf1)()()()()2(证明：为公差的等差数列为首项，是以而证明：)31()31()()31(2121)()31(212121211212121211)()()3(1111111111ffafffafffaaaafafafnnnnnnnnnnnnnnn505010021)()()(111)()4(10021afafafnnafn