【高中数学选修2-2】1.3.1.函数的单调性与导数

1.3.1函数的单调性与导数首先我们回忆一下函数的单调性的概念和导数的几何意义.导数在研究函数中的应用主要有三方面1.用导数研究函数的单调性；2.用导数研究函数的极值；3.用导数研究函数的最值.这节课，我们先探讨函数的单调性与导数的关系.复习回顾1．增函数、减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．2．函数的单调性如果函数y＝f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．复习回顾导数的几何意义:yx0abc导数0()()()limxfxxfxfxx的几何意义是:观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的大小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小,你发现了什么规律?()0fx()0fx函数()yfx的图象在点(,())xfx处的切线的斜率.(如图)2yx0.......再如：观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单调减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2，+∞）上单调增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.函数单调性与其导数正负的关系:一般地,函数y=f(x)在某个开区间(a,b)内如果f’(x)0,则f(x)在这个区间内单调递增;如果f’(x)0,则f(x)在这个区间内单调递减.注意:如果在某个区间内恒有f’(x)=0,则f(x)为这个区间内的常数函数.结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有关，即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性。现举例说明：注：如果函数f(x)在指定区间单增，则f’(x)≥0如果函数f(x)在指定区间单减，则f’(x)≤0定义域是闭区间怎么办？例1.确定函数在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.42)(2xxxf22)('xxf解：,1,022xx解得令是增函数；时，因此，当)(),1(xfx，解得再令1,022xx是减函数；时，因此，当)()1,(xfx例2讨论函数y=的单调性.2x-x2解:由y′=,解不等式y′0得:x1,则函数的单调增区间为(-∞,1).解不等式y′0得:x1,则函数的单调减区间为(1,+∞).2x-x21-x这种解法对么？例2讨论函数y=的单调性.2x-x2正解:函数的定义域为[0,2].y′=,解不等式y′0得:0《x1,则函数的单增区间为[0,1).解不等式y′0得:1x《2,则函数的单减区间为(1,2].2x-x21-x点评：研究函数的单调性切记先求定义域！归纳：根据导数确定函数的单调性一般需三步：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f’(x)0,与定义域取交集得函数单调增区间;解不等式f’(x)0,与定义域取交集得函数单调减区间.注：单调区间不可并。例3已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;()0,fx()fx当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;,0)(xf)(xf当x=4,或x=1时,.0)(xf综上,函数图象的大致形状如右图所示.)(xfxyO14临界点（拐点）例4如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO分析：依据单位时间内，高度变化量得大小判断。例4如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO结论：一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象“平缓”.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a()yfxyxoba结论：一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.课堂小结:函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)0,则f(x)为增函数;如果f′(x)0,则f(x)为减函数.切记：如果函数f(x)在指定区间单调增，则f’(x)≥0如果函数f(x)在指定区间单调减，则f’(x)≤0