平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计-人教课标版(实用教案)

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教学分析平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.二、教学目标、知识与技能：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。、过程与方法：通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。、情感态度与价值观：能用所学知识解决有关综合问题。三、重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.四、教学设想（一）导入新课思路.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.（二）推进新课、新知探究、提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量()(),怎样用与的坐标表示·呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:∵ｉｉ,∴·(ｉ)·(ｉ)ｉｉ·ｉ·.又∵ｉ·ｉ·,ｉ··ｉ,∴·.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即()(),则·.°向量模的坐标表示若(),则,或22yx.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为()、(),那么().)()(212212yyxx°两向量垂直的坐标表示设()(),则⊥.°两向量夹角的坐标表示设、都是非零向量()(),θ是与的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得θ222221212121||||yxyxyyxxbaba讨论结果:略.（三）应用示例例已知()()(),试判断△的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出()()()三点,我们发现△是直角三角形.下面给出证明.∵AB()(),AC()(),∴AB·AC×()×.∴AB⊥AC.∴△是直角三角形.点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.变式训练在△中AB()AC(),且△的一个内角为直角,求的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若∠°,则AB⊥AC,所以AB·AC.于是×.故32.同理可求,若∠°时的值为311;若∠°时的值为2133.故所求的值为32或311或2133.例()已知三点()()(),求∠的余弦值;()()(),求与的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量()与()的数量积·和模2121yx2222yx的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即θ222221212121||||yxyxyyxxbaba.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:()AB()()(),AC()()(),∴AB·AC×()×.又∵AB22332AC226)1(37,∴∠.74745372315||||ACABACAB()·×()×.设与的夹角为θ,则θ.2225315||||baba又∵≤θ≤π,∴θ43.点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.变式训练设()(),求·及、间的夹角θ.(精确到解·×()()×().74)7(52252)4()6(22由计算器得θ52742≈.利用计算器中得θ≈°.例已知(),试分别解答下面两个问题:()若⊥,求;()若∥,求.活动:对平面中的两向量()与(),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示与向量共线的坐标表示很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是·,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:()设(),由且⊥,得,032,9||222xxayx解得,13136,1313913136,13139yxyx或∴或)13136,13139(.13136,13139()设(),由且∥,得.023,9||222yxayx解得13139,13136yx或.13139,13136yx∴或)13139,13136()13139,13136(.点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证:一次函数的图象(直线)与一次函数21的图象(直线)互相垂直.解:在中,令得;令得,即在上取两点()().同理,在直线上取两点()(),于是:AB()()()(,),CD()()()().由向量的数量积的坐标表示,可得AB·CD×()×,∴AB⊥CD,即⊥.（四）课堂小结.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示..在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.（五）作业人生最大的幸福，莫过于连一分钟都无法休息零碎的时间实在可以成就大事业珍惜时间可以使生命变的更有价值时间象奔腾澎湃的急湍，它一去无返，毫不流连一个人越知道时间的价值，就越感到失时的痛苦得到时间，就是得到一切用经济学的眼光来看，时间就是一种财富时间一点一滴凋谢，犹如蜡烛漫漫燃尽我总是感觉到时间的巨轮在我背后奔驰，日益迫近夜晚给老人带来平静，给年轻人带来希望不浪费时间，每时每刻都做些有用的事，戒掉一切不必要的行为时间乃是万物中最宝贵的东西，但如果浪费了，那就是最大的浪费我的产业多么美，多么广，多么宽，时间是我的财产，我的田地是时间时间就是性命，无端的空耗别人的时间，知识是取之不尽，用之不竭的。只有最大限度地挖掘它，才能体会到学习的乐趣。新想法常常瞬息即逝，必须集中精力，牢记在心，及时捕获。每天早晨睁开眼睛，深吸一口气，给自己一个微笑，然后说：“在这美妙的一天，我又要获得多少知识啊！”不要为这个世界而惊叹，要让这个世界为你而惊叹！如果说学习有捷径可走，那也一定是勤奋。学习犹如农民耕作，汗水滋润了种子，汗水浇灌了幼苗，没有人瞬间奉送给你一个丰收。藏书再多，倘若不读，只是一种癖好；读书再多，倘若不用，只能成为空谈。学习好似一片沃土，只要辛勤耕耘，定会有累累的硕果；如若懒于劳作，当别人跳起丰收之舞时，你已是后悔莫及了。不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步，学习的成功与失败原因是多方面的，要首先从自己身上找原因，才能受到鼓舞，找出努力的方向