第二章23234平面向量共线的坐标表示16407精品文档

第二章2突破常考题型题型一1理解教材新知知识点题型二题型三3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.4平面向量共线的坐标表示返回返回2．3.4平面向量共线的坐标表示返回返回[提出问题]已知下列几组向量：(1)a＝(0,2)，b＝(0,4)；(2)a＝(2,3)，b＝(4,6)；(3)a＝(－1,4)，b＝(2，－8)；(4)a＝12，1，b＝－12，－1.返回问题1：上面几组向量中，a与b有什么关系？提示：(1)(2)中b＝2a；(3)中b＝－2a；(4)中b＝－a.问题2：以上几组向量中a，b共线吗？提示：共线．返回[导入新知]平面向量共线的坐标表示前提条件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0结论当且仅当时，向量a、b(b≠0)共线x1y2－x2y1＝0返回[化解疑难]向量共线的坐标表示的推导设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．上式若用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即a∥b⇔x1＝λx2，y1＝λy2⇔x1y2－x2y1＝0.返回返回[例1](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()A.12B.13C．1D．2(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？返回(1)[解析]法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以1λ＝21，即λ＝12.[答案]A返回(2)[解]AB＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB，CD共线．又CD＝－2AB，∴AB，CD方向相反．综上，AB与CD共线且方向相反．返回[类题通法]向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．返回[活学活用]已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数k为何值时，(ka＋b)∥(a－3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？解：∵a＝(1,2)，b＝(－3,2)，∴ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．由题意得(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－13.此时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，∴当k＝－13时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反.返回[例2](1)若点A(1，－3)，B8，12，C(x,1)共线，则x＝________.(2)设向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，求当k为何值时，A、B、C三点共线．返回(1)[解析]AB＝7，72，AC＝(x－1,4)．∵A，B，C共线，∴AB与AC共线∴7×4－72(x－1)＝0，解得x＝9.[答案]9返回(2)[解]法一：若A，B，C三点共线，则AB，AC共线，则存在实数λ，使得AB＝λAC，∵AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(10－k，k－12)．∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即4－k＝λ10－k，－7＝λk－12，解得k＝－2或k＝11.∴当k＝－2或11时，A、B、C三点共线．返回法二：由题意知AB，AC共线，∵AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.∴当k＝－2或11时，A、B、C三点共线．返回[类题通法]三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．返回[活学活用]已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．(1)求实数x的值，使向量AB与CD共线；(2)当向量AB与CD共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？返回解：(1)AB＝(x,1)，CD＝(4，x)．∵AB∥CD，∴x2＝4，x＝±2.(2)由已知得BC＝(2－2x，x－1)，当x＝2时，BC＝(－2,1)，AB＝(2,1)，∴AB和BC不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上；当x＝－2时，BC＝(6，－3)，AB＝(－2,1)，∴AB∥BC，此时A，B，C三点共线．又AB∥CD，∴A，B，C，D四点在一条直线上．综上，当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上．返回[例3]如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．返回[解]法一：由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP－OA＝(4λ－4,4λ)．连接OC，则AC＝OC－OA＝(－2,6)．由AP与AC共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP＝34OB＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．返回法二：设P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4,4)，且OP与OB共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2,6)，且AP与AC共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．返回[类题通法]向量共线在几何中的应用及注意事项向量共线在几何中的应用，可分为两个方面：(1)已知两向量共线，求点或向量的坐标；(2)证明或判断三点共线、直线平行．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行．返回[活学活用]已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB与CD共线．返回AD＝(－1,2)，BC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵BC＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，∴|BC|＝5＝|AD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．返回9.错用两向量共线的条件致误返回[典例]已知P1(2，－1)，P2(－1,3)，P在直线P1P2上，且|1PP|＝23|2PP|.则P点的坐标为________．[解析](1)当1PP与2PP同向时，则有1PP＝232PP，设P点坐标为(x，y)，1PP＝(x－2，y＋1)，2PP＝(－1－x,3－y)．∴(x－2，y＋1)＝23(－1－x,3－y)，返回∴x＝2＋23×－11＋23，y＝－1＋23×31＋23，即x＝45，y＝35.故P点坐标为45，35.(2)当1PP与2PP反向时，则有1PP＝－232PP，设P点坐标为(x，y)，∴(x－2，y＋1)＝－23(－1－x,3－y)，返回∴x＝2－23×－11－23，y＝－1－23×31－23，即x＝8，y＝－9.故P点坐标为(8，－9)．综上可得，P点坐标为45，35或(8，－9)．[答案]45，35或(8，－9)返回[易错防范]1．本题易由|1PP|＝23|2PP|只得出1PP＝232PP的结论，从而得出P点坐标为45，35的错误答案．2．解决两向量共线问题时，要注意两非零向量a与b共线有同向共线和反向共线两种情况，不要发生遗漏．返回[成功破障]平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且AC＝12BC，连接DC延长至E，使|CE|＝14|ED|，则点E的坐标为________．返回解析：∵AC＝12BC，∴OC－OA＝12(OC－OB)．∴OC＝2OA－OB＝(3，－6)．∴点C的坐标为(3，－6)．又|CE|＝14|ED|，且E在DC的延长线上，∴CE＝－14ED.设E(x，y)，返回则(x－3，y＋6)＝－14(4－x，－3－y)，得x－3＝－144－x，y＋6＝－14－3－y，解得x＝83，y＝－7.∴点E的坐标为83，－7.答案：83，－7返回返回[随堂即时演练]1．已知a＝(－1,3)，b＝(x，－1)，且a∥b，则x＝()A．3B．－3C.13D．－13解析：选∵a∥b，∴(－1)×(－1)＝3x，∴x＝13.C返回2．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与AB平行且方向相反的向量a是()A．(2,1)B．(－6，－3)C．(－1,2)D．(－4，－8)解析：选AB＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．D返回3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ返回4．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直线AB上，则x＝________.解析：AB＝(x＋1，－6)，AC＝(4，－1)，∵AB∥AC，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.答案：23返回5．已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且AE＝13AC，BF＝13BC，求证：EF∥AB.证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有AC＝(2,2)，BC＝(－2,3)，AB＝(4，－1)．因为AE＝13AC，所以AE＝23，23，所以(x1＋1，y1)＝23，23，故E－13，23；返回因为BF＝13BC，所以BF＝－23，1，所以(x2－3，y2＋1)＝－23，1，故F73，0.所以EF＝83，－23.又因为4×－23－83×(－1)＝0，所以EF∥AB.返回[课时达标检测]