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第1页一次函数压轴题1.如图,在平面直角坐标系中,直线分别与x轴、y轴交于点B、C,且与直线交于点A.(1)分别求出点A、B、C的坐标;(2)若D是线段OA上的点,且△COD的面积为12,求直线CD的函数表达式;(3)在(2)的条件下,设P是射线CD上的点,在平面内是否存在点Q,使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图1,直线y=-x+3分别与y轴,x轴交于A,C两点,以OA,OC为边作矩形OABC,E是边OC上一点(不与点O,C重合).(1)求点B的坐标;(2)如图2,将直线AE绕A点逆时针旋转45°与过E点垂直于AE的直线交于点D,若直线AD的解析式为y=-x+3,求直线DE的解析式;(3)如图3,将线段AE绕A点逆时针旋转90°,得线段AF,连接EF,M为线段EF的中点,求的值.(BC为EC)第2页3.在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A(3,0)、B(0,3).(1)求一次函数的解析式:(2)若点P在该函数图象上,P到x轴、y轴的距离分别为d1,d2,求d1-d2的取值范围;(3)在△AOB内部作正方形,使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上,求正方形落在x轴上的顶点坐标.4.如图,平面直角坐标系中,已知直线y=x上一点P(1,1),C为y轴上一点,连接PC,线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD,过点D作直线AB⊥x轴,垂足为B;直线AB与直线y=x交于点A,连接CD,直线CD与直线y=x交于点Q.(1)求证:OB=OC;(2)当点C坐标为(0,3)时,求点Q的坐标;(3)当△OPC≌△ADP时,直接写出C点的坐标.5.如图,正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上,点B的坐标为(-4,4).点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动;点Q从点O同时出发,以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时,点Q也停止运动.连接BP,过P点作BP的垂线,与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E,连接PE.设点P运动的时间为t(s).(1)写出∠PBD的度数和点D的坐标(点D的坐标用t表示);(2)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化,若变化,说明理由;若不变,试求这个定值.(3)当t为何值时,△PBE为等腰三角形?第3页6.(12分)如图,直线l1:y=-3x+3,与x轴交于点D,直线l2与直线y=3x+13平行,与直线l1交于点C(2,-3).(1)求直线l2的解析表达式;(2)若直线l2与x轴交于点A,求△ADC的面积;(3)在y轴上存在点P,使得△CDP与△CDA的面积相等,求出点P的坐标;(4)若点B为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点B,使以A、D、C、B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点B的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在直角坐标系中,直线AB分别交x轴于点B(﹣1,0),交y轴于点A(0,n),0<n<3.过点P(﹣1,3)作PC∥AB,PC交x轴于点C,交平行于x轴的直线AD于点D,连接PA,BD.(1)求直线AB的函数表达式(用含n的式子表示);(2)设△ABD的面积为S,当点A运动时,S的值会发生变化吗?若变化,请说明理由;若不变,求出S的值;(3)若DC=DB,求n的值,判断此时四边形PDBA的形状,并说明理由.8.平面直角坐标系中,直线l1:y=-x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线l2:y=kx+2k与x轴交于点C,与直线l1交于点P.(1)当k=1时,求点P的坐标;(2)如图1,点D为PA的中点,过点D作DE⊥x轴于E,交直线l2于点F,若DF=2DE,求k的值;(3)如图2,点P在第二象限内,PM⊥x轴于M,以PM为边向左作正方形PMNQ,NQ的第4页延长线交直线l1于点R,若PR=PC,求点P的坐标.9.已知:A(2,0),B(2,2),C(0,2),点D(m,0)是线段OA上一点,AE⊥BD交y轴于E,交BD于F.(1)正方形OABC的周长是______;(2)当m=1时,求点F的坐标;(3)如果≤m≤,直线y=kx+2-2k(k≠0)与直线EF始终有交点,求k的取值范围.10.已知一次函数y=kx+b的图象经过点M(-1,3)、N(1,5).直线MN与坐标轴相交于点A、B两点.(1)求一次函数的解析式.(2)如图1,点C与点B关于x轴对称,点D在线段OA上,连结BD,把线段BD顺时针方向旋转90°得到线段DE,作直线CE交x轴于点F,求的值.(3)如图2,点P是直线AB上一动点,以OP为边作正方形OPNM,连接ON、PM交于点Q,连BQ,当点P在直线AB上运动时,的值是否会发生变化?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.第5页11.如图,直线y=kx-k+4(k≠0)分别与x轴,y轴交于点A,B,无论k为何值,直线y=kx-k+4(k≠0)都过定点E.(1)写出点E的坐标:E();(2)当k=﹣2时,将直线AB绕点B顺时针旋转45°后交x轴于点D,过点A作AB的垂线与直线BD交于点C.①求BC的解析式;②若点F是经过点A的直线上一点,且AF=DA(点F在第一象限),试证明四边形DEFA是菱形.12.如图,已知直线y=-2x+8和x轴、y轴分别交于B和A,直线l经过点C(2,-4)和D(0,-3),向下平移1个单位后与x轴、y轴分别交于点E,F,直线AB和EF相交于P.(1)求直线l的解析式;(2)①求证:△AOB≌△EOF;②判断△APE的形状,并说明理由.13.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的O点为坐标原点,A、C两点分别在y轴和x轴上,AB∥OC,OA=8,AB=24,OC=26,动点P从A开始沿AB边向点D以1个单位/s的速度运动,动点Q从C开始沿CO边向点O以3个单位/s的速度运动,P、Q分别从A、C同时出发,当一点到达时另一点也停止,设运动时间为t.(1)求直线BC的解析式;(2)当t为何值时,PQ∥CB?(3)是否存在t的值,使得PQ将四边形OABC的面积分成2:3两部分?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.第6页14.如图,直线y=-x+1交y轴于A点,交x轴于C点,以A,O,C为顶点作矩形AOCB,将矩形AOCB绕O点逆时针旋转90°,得到矩形DOFE,直线AC交直线DF于G点.(1)求直线DF的解析式;(2)求证:OG平分∠CGD;(3)在第一象限内,是否存在点H,使以G,O,H为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在请求出点H的坐标;若不存在,请什么理由.15.如图,直线l1的解析式为y=-3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A,B,直线l1,l2交于点C.(1)求直线l2的解析表达式;(2)求△ADC的面积;(3)若点P为第一象限上的一点,且以A,C,D,P为顶点的四边形为平行四边形,试求点P的坐标.第7页一次函数压轴题答案和解析【答案】1.解:(1)直线,当x=0时,y=6,当y=0时,x=12,∴B(12,0),C(0,6),解方程组:得:,∴A(6,3),答:A(6,3),B(12,0),C(0,6).(2)解:设D(x,x),∵△COD的面积为12,∴×6×x=12,解得:x=4,∴D(4,2),设直线CD的函数表达式是y=kx+b,把C(0,6),D(4,2)代入得:,解得:,∴y=-x+6,答:直线CD的函数表达式是y=-x+6.(3)答:存在点Q,使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形,点Q的坐标是(6,6)或(-3,3)或.2.解:(1)∵x=0时,y=-x+3=3,∴点A(0,3),同理可得点C(3,0),∵四边形OABC是矩形,∴点B的坐标为(3,3).(2)在图2中,过点D作DG⊥x轴,垂足为G,则∠DGE=90°,∵AE⊥ED,∴∠AED=90°,∵∠EAD=45°,∴∠ADE=45°,∴AE=ED.∵∠OAE+∠OEA=90°,∠OEA+∠GED=90°,∴∠OAE=∠GED.∴△AEO≌△EGD(AAS),∴EG=AO=3,OE=DG.设D(t,-t+3),则t-(-t+3)=3,解得t=4,∴D(4,1),E(1,0).设直线DE的解析式为y=kx+b,将D,E两点的坐标代入y=kx+b中,得:,解得:,∴直线DE的解析式为y=x-.(3)在图3中连接FB.∵∠OAE+∠EAB=90°,∠EAB+∠BAF=90°,∴∠OAE=∠BAF.∴△OAE≌△BAF(SAS),∴BF=OE,∠ABF=∠AOE=90°,∴F,B,C三点共线,设E(a,0)(0<a<3),则EC=3-a,由(1)知B(3,3),∴F(3,3+a).设M(m,n),∵点M为EF的中点,∴m=,n=.∴MB===(3-a),∴==.第8页3.解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,将点A(3,0)、B(0,3)代入y=kx+b中,得:,解得:,∴直线AB的解析式为y=-x+3.(2)设点P的坐标为(m,-m+3),∴d1=|m|,d2=|-m+3|,∴d1-d2=|m|-|-m+3|.当m<0时,-m+3>0,d1-d2=|m|-|-m+3|=-m-(-m+3)=3;当0≤m≤3时,-m+3≥0,d1-d2=|m|-|-m+3|=m-(-m+3)=2m-3,∵0≤m≤3,∴-3≤d1-d2≤3;当3<m时,-m+3<0,d1-d2=|m|-|-m+3|=m-(m-3)=3.综上可知:当点P在该函数图象上时,P到x轴、y轴的距离分别为d1,d2,则d1-d2的取值范围为-3≤d1-d2≤3.(3)分两种情况:①如图1,当点O为正方形的一个顶点时,∵OA=OB,∴∠BAO=45°,∵CD⊥OA,∴CD=AD.∵四边形ODCE是正方形,∴OD=CD,∴OD=AD,∴OD=OA=,∴落在x轴上的顶点(0,0),(,0);②如图2,当正方形的两个顶点落在线段AB上时,∵∠BAO=∠ABO=45°,∴△AFE和△BGN均为等腰直角三角形,∴BN=GN,AM=FM,∵四边形FMNG为正方形,∴AM=MN=BN,∴AM=AB==,AF==2.∵OA=3,∴OF=3-2=1,∴落在x轴上的顶点F(1,0).综上可知:正方形落在x轴上的顶点坐标为(0,0)、(,0)和(1,0).4.证明:(1)过P作GH⊥OC,垂足为G,交AB于H,过P作PE⊥x轴,垂足为E,∵AB⊥OB,∴GH⊥AB,∵∠CPD=90°,∴∠GPC+∠DPH=90°,∠GCP+∠GPC=90°,∴∠GCP=∠DPH,又∵∠CGP=∠PHD=90°,PC=PD,∴△CGP≌△PHD,∴CG=PH,∵∠PEB=∠EBH=∠BHP=90°,∴四边形PEBH为矩形,∴PH=EB,∴CG=EB,∵GH∥OB,OG∥PE,∠GOE=90°,∴四边形GOEP为矩形,∵直线OA:y=x,∴∠GOP=∠POE=45°,∵∠GPO=∠POE=45°,∴∠GOP=∠GPO,∴GO=GP,∴矩形GOEP为正方形,∴OG=OE,∴OG+GC=OE+EB,即OC=OB;(2)∵P(1,1),∴OG=BH=PG=DH=1,∵C(0,3),∴OB=OC=3,∴D(3,2),设直线CD的解析式为:y=kx+b,把D(3,2)、C(0,3)代入得:,解得,∴直线CD的解析式为:y=-x+3,则解第9页得,∴Q(,);(3)如图2,过P作GH⊥OC,垂足为G,交AB于H,设CG=x,则PH=x,OC=x+1,∵△OPC≌△ADP,∴AP=OC=x+1,AD=OP=,∴AH=+1,在Rt△APH中,由勾股定理得:(x+1)2=x2+(+1)2,x=+1,∴C(0,2+).5.解:(1)如图1,由题可得:AP=OQ=1×t=t(秒)∴AO=PQ.∵四边形OABC是正方形,∴AO=AB=BC=OC,∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°.∵DP⊥BP,∴∠BPD=90°.∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ.∵AO=PQ,AO=AB,∴AB=P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