自动控制原理第三章3_劳斯公式

系统的稳定性和代数稳定判据一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。稳定的充要条件和属性稳定的基本概念：设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。稳定的充要条件和属性充要条件说明如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。上述两种情况下系统是不稳定的。如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。稳定区不稳定区临界稳定mIeRS平面对于一阶系统，只要都大于零，系统是稳定的。,,01001aasasa10,aa对于二阶系统，2022112,1012224,0aaaaasasasa只有都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）210,,aaa对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。充要条件说明注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。二、劳斯稳定性判据设线性系统的特征方程为则该系统稳定的充要条件为：特征方程的全部系数为正值；由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列也为正。00111asasasannnn劳斯判据设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-82412劳斯表介绍劳斯表特点4每两行个数相等1右移一位降两阶2行列式第一列不动3次对角线减主对角线5分母总是上一行第一个元素7第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。6一行可同乘以或同除以某正数ε2+8ε7ε-8(2+8)-ε7ε27ε127-8ε劳斯判据系统稳定的必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定的充分条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号系统不稳定!变号的次数为特征根在s右半平面的个数!特征方程各项系数均大于零!稳定吗？劳斯判据例子[例]：特征方程为：，试判断稳定性。0012233asasasa[解]：劳斯阵为：0123ssss000203120213aaaaaaaaaa稳定的充要条件为：0123,,,aaaa00321aaaa均大于零且特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改变的次数。[例]：系统的特征方程为：054322345sssss012345ssssss0050093205905.15.0532411-130（2）100（）329劳斯阵第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个极点在s的右半平面。劳斯判据特殊情况劳斯判据特殊情况劳斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。[处理办法]：用很小的正数代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即）与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。[例]：0122234ssss01234sssss001002201)(002211122令则故第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。220122,22劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。劳斯判据特殊情况例如:502548242)2)(25)(4(2345221ssssssss)4(22s[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数的。劳斯表出现零行设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表s0s1s2s3s451756116601劳斯表何时会出现零行?2出现零行怎么办?3如何求对称的根?②由零行的上一行构成辅助方程:①有大小相等符号相反的特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数:2s1211继续计算劳斯表1第一列全大于零,所以系统稳定错啦!!!由综合除法可得另两个根为s3,4=-2,-3③解辅助方程得对称根:s1,2=±j劳斯表出现零行系统一定不稳定[例]：0161620128223456ssssss0123456sssssss00080003100830000016122016122162081168168130380从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得：0)4)(2(22ss2,2,4,32,1jsjs劳斯判据特殊情况辅助方程为：，求导得：，或，用1，3，0代替全零行即可。08624ss01243ss033ss此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。三、劳斯稳定性判据的应用判定控制系统的稳定性[例3-1]系统的特征方程为：，判断系统的稳定性。05432234ssss[解]：排列劳斯阵如下：00500605104253101234sssss因为，，且劳斯阵第一列不全为正，所以，系统不稳定。由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在s右半平面有两个极点。)4~0(,0iai[例3-2]系统的特征方程为：该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。04623482422345sssss[解]：劳斯阵如下0004648223241345sss行全为零。由前一行系数构成辅助方程得：3s2324)(或46482)(2424sssQsssQ其导数为：将4,48或1,12代替行，可继续排列劳斯阵如下：sssQ484)(33s002300100231201212324123241012345ssssss因为行全为零，所以特征方程必有特殊的根。求解如下：由于有特征根为共轭虚数，所以系统不稳定)5~0(,0iai1,230)1)(23(,0)(4,32,122jsjssssQ，有令3s设剩余的一个根为-p。则：，整理得：0)2324)((24ssps0232324242345pspsspss比较系数得：-p=-2极点分布如下：23j23j1j1j2注意：劳斯判据实际上只能判断代数方程的根是在s平面左半闭平面还是在右半开平面。对于虚轴上的根要用辅助方程求出。若代数方程有对称于虚轴的实根或共轭复根，则一定在劳斯表的第一列有变号，并可由辅助方程求出分析系统参数变化对稳定性的影响利用劳斯稳定性判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。若讨论的参数为开环放大系数K，则使系统稳定的最大K称为临界放大系数。pK[例3-7]已知系统的结构图，试确定系统的临界放大系数。)5)(3(sssk[解]：闭环传递函数为：ksssksssksssks158)5)(3(1)5)(3()(23特征方程为：015823ksss劳斯阵：kkkssss0812081510123要使系统稳定，必须①系数皆大于0，0k②劳斯阵第一列皆大于01200012008120有kkkk120pk所以，临界放大系数确定系统的相对稳定性（稳定裕度）利用劳斯和胡尔维茨稳定性判据确定的是系统稳定或不稳定，即绝对稳定性。在实际系统中，往往需要知道系统离临界稳定有多少裕量，这就是相对稳定性或稳定裕量问题。利用实部最大的特征方程的根p（若稳定的话，它离虚轴最近）和虚轴的距离表示系统稳定裕量。若p处于虚轴上，则，表示稳定裕量为0。0作的垂线，若系统的极点都在该线的左边，则称该系统具有的稳定裕度。一般说，越大，稳定程度越高。可用代入特征方程，得以z为变量的新的特征方程，用劳斯-胡尔维茨判据进行判稳。若稳定，则称系统具有的稳定裕度。szs[例]系统特征为：，可知它是稳定的。令则：068523sss1zs022,06)1(8)1(5)1(2323zzzzzz即010122110123zzzz1z行全为零，以它上面的行组成辅助方程，其解为特殊根。对辅助方程求导，用其系数代替行。辅助方程为：，其系数为1，0。其解为：1z0222s12,1js，有一对共轭虚根，所以系统是临界稳定的。系统的稳定裕度恰为1。[例]已知系统的结构图，为使系统特征方程的根的实数部分不大于-1，试确定k值的取值范围。)5)(3(sssk[解]：闭环特征方程为：现以s=x-1代入上式，得015823ksss082523kxxx劳斯阵：8051885210123kkkxxxx要使系统稳定，必须①系数皆大于0，8k②劳斯阵第一列皆大于01888180518有kkkk188k所以，此时k的取值范围为小结线性系统稳定的充要条件劳斯代数稳定性判据（劳斯阵，各种特殊情况下劳斯阵的排列和判稳方法）劳斯稳定性判据的应用—判稳—系统参数变化对稳定性的影响—系统的相对稳定性