2-永磁同步电机的公式推导

2永磁同步电机的公式推导2.1永磁同步电机的能量转换过程推导永磁同步电机电压平衡方程：（2-1）其中，t，为转子机械角位移，为转子机械角速度，电机稳定运行时为常数，即const。则有ddiLuRiLit（2-2）其中，Ri为电阻压降，ddiLt表示感应电动势，LEi成为运动电动势。转矩平衡方程：22ddmmecJRmecTTTTdTJRdtt（2-3）其中，mT为电机电磁转矩，mecT为输出机械转矩，22JdTJdt为惯性转矩，ddRTRt为阻力转矩；理想情况下，电机阻力力矩近似为常数，稳定运行时机械加速度为零，所以输出的机械转矩mecmRTTT，由于电机阻力力矩近似为常数，电磁功率可近似看作输出机械功率。磁能的表达式：'1112nnmmjjkkjkWWiLi（2-4）由磁能与电磁转矩之间的关系mmWTd，则：111122nnjkmmjktjkLWLTiiii（2-5）其中，ti表示电流矩阵的转置。则电磁功率为：ddd()ddduRitLiiLRiRiLittt1122mmttLPTiiiE（2-6）由公式两边同时乘以ti，则：dd1d12d2ttttttttiiuiRiiLiEtiiRiiEiLiEt（2-7）由式（2.7）可知，等式左边tiu为电机输入功率；等式右边tiRi为电阻损耗功率，12tiE是电磁功率，即电功率转换成机械功率输出的那一部分，表明从电磁耦合场中获得的一半能量转换成了机械能输出；d1d2ttiiLiEt是输入功率除去输出的和内阻损耗功率之后的功率，即为磁场功率。稳态运行时，一个周期内磁场功率应为零，即一个周期内磁场转化的功率与释放的功率相同。2.2坐标变换（1）0abcdq变换（Clark变换）设三相绕组和两相绕组每相的绕组匝数分别为N1，N2，将两组磁动势分别投影到轴和轴上：121211()2233()22abcbcNiNiiiNiNii（2-8）前后保持功率不变，可进一步推倒出此时2123NN，所以，三相静止坐标系到两相静止坐标系（3s/2s）的“等功率”变换矩阵为：3/2111222333022ssC（2）0dq变换（Park变换）同样遵照磁效应等效原则，同一时刻、同一方向上的瞬时磁动势相等，再由功率不变原则得出变换前后各绕组的有效匝数不变，因此可以直接由电流矢量表示合成磁动势。将磁动势投影到正交的α轴、β轴上，由三角关系易得：cossinsincosdqdqiiiiii（2-9）两相静止坐标系到两相旋转坐标系（2s/2r）的“等功率”变换矩阵为：2/2cossinsincossrC（3）0abcdq变换考虑零序电流013abciiii得3/20daqsrbciiiCiii（2-10）则有，2/22/23/23/200daaqsrsrssbsrbcciiiiiCiCCiCiiiii（2-11）通过计算可以得出0abcdq变换矩阵：3/2coscos(120)cos(120)2sinsin(120)sin(120)3222222srC2.3旋转坐标系下动态方程（1）电压方程根据坐标变换，并考虑：0=t（2-12）D（2-13）可以得到d0cossinaquuuu（2-14）aaauDRi（2-15）d0cossinaq（2-16）d0cossinaqiiii（2-17）ddd00cossinaqqquDRiDRiDRi（2-18）定子电压方程dddquDRi（2-19）dqqquDRi（2-20）000uDRi（2-21）转子电压方程FFFFuDRi（2-22）DDDDuDRi（2-23）QQQQuDRi（2-24）（2）磁链方程d轴上绕组：d绕组，阻尼绕组D，励磁绕组F。q轴上绕组：q绕组，励磁绕组Q。在abc绕组通三相电流，在d绕组中的磁链ddcoscos120cos120aaaabcLiii（2-25）其中，daaL为d绕组和a相绕组重合时的互感在dq绕组通电流di，qi，在d绕组中的磁链dddd2coscos120cos1203aaaabcLiLiii（2-26）其中，daL为直轴电枢反应电感令dq绕组与abc绕组等效，则dd23aaaLL（2-27）同理23aqqaqLL（2-28）dq轴主磁链dddmaaFFaDDLiMiMimqaqqaQQLiMi（2-29）dq轴总磁链qmqqLidddmLi（2-30）其中，L为定子交直轴的漏感若aaL，M为定子绕组漏自感和漏互感，则总漏感和零序电感为aaLLM02aaLLM（2-31）由交直轴磁链得到交直轴同步电感ddaLLLqaqLLL（2-32）定子d0q系统的磁链dddaFFaDDLiMiMi（2-33）qqqaQQLiMi（2-34）000Li（2-35）励磁绕组F的磁链coscos120cos120FaFabcFFFDDMiiiLiMi32FaFdFFFDDMiLiMi（2-36）直轴阻尼绕组D的磁链32DaDdDDFDFMiLiMi（2-37）交轴阻尼绕组Q的磁链32QaQqQQMiLi（2-38）（3）转矩方程同步电动机输入总功率d0d0d0aabbccabcabcqabcqtqtttPuiuiuiuicuiucci（2-39）cossin1cos120sin1201cos120sin1201c由于32323tcc所以dd0033322qqPuiuiui（2-40）变换为磁势不变，而非功率不变，系数不为1。展开得到22d2dd00dd03332222qqqqqPiDiDiDiiRiii（2-41）dd32mmmqqPPTpiip（2-42）2.4拉格朗日运动方程确定电机的动力变量，广义损耗系数，以应外来广义驱动力，列表如下：表3.1在广义坐标和广义速度下的系数定子绕组d1K定子绕组q2K转子绕组d3K转子绕组q4K机械转子5KkqdsqqsqdrqqrqkqdsiqsidriqrikRdsRqsRdrRqrRRkQdsVtqsVt00mecT假设系统为线性的2222222212122211112222qrqrmjkjkjdskdsdssqssdrrqrrdsdrmqrqsmdssqssdrrqrrdsdrmqrqsmWiiLiLiLiLiLiiLiiLiLiLiLiLiiLiiL（2-43）由212mecFR，222211112222edsdsqsqsdrdrqrqrFRiRiRiRi可得222221111122222emecdsdsqsqsdrdrqrqrFFFRiRiRiRiR（2-44）拉格朗日函数为==0mmemmeWTVWTVL（2-45）其中，212meTJ。d0dkkkFtqqqLL（2-46）根据式（3.23），同步电机运动方程的推导如下：当1K时ddsdsmdrdsdsdsLiLiRiVtt（2-47）则定子绕组d轴的电压方程为：dddddsdrsmdsdsdsiiLLRiVttt（2-48）当2K时ddsqsmqrqsqsqsLiLiRiVtt（2-49）则定子绕组q轴的电压方程为：ddddqsqrsmqsqsqsiiLLRiVttt（2-50）当3K时d0drdrmdsdrdrLiLiRit（2-51）则转子绕组d轴的电压方程为：dd0dddrdsrmdrdriiLLRitt（2-52）当4K时同理可得，转子绕组q轴的电压方程为：dd0ddqrqsrmqrqriiLLRitt（2-53）当5K时ddmecJRTt（2-54）则力平衡方程为ddmecJRTt（2-55）综上所述，式（2-46）、（2-50）、（2-51）、（2-52）、（2-56）合起来就是永磁同步电机的运动方程。