2017-2018学年佛山统考高一上册数学期末题(含答案)-20180123考试

第1页（共8页）2017-2018学年佛山市高一（上）期末·数学试卷测试时间：2018.1一、选择题（12小题，每小题5分，共60分，每小题四个选项中，只有一个是正确的）1．已知全集U=R，则正确表示集合A={﹣1，0，1}和B={x|x2=x}关系的韦恩（Venn）图是（）ABCD2．下列函数既是奇函数，又是在区间（1，+∞）上是增函数的是（）A．y=ex﹣e﹣xB．y=xC．y=sinxD．y=ln|x|3．已知=（1，0），=（1，1），且（），则λ=（）A．2B．1C．0D．﹣14．已知tanα=﹣3，，则sinα﹣cosα=（）A．B．C．D．5．函数y=x2+ln|x|的图象大致为（）ABCD6．已知=（cos15°，sin15°），=（cos75°，sin75°），则||=（）A．2B．3C．2D．17．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，则使得f（2x）＞f（1-2）成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）8．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB=1，则ABBC=（）A．3-2B．32C．3-2D．329．已知α，β为锐角，且tanα=7，sin（α﹣β）=，则cos2β=（）第2页（共8页）A．35B．3-5C．D．10．若0＜a＜b＜1，则错误的是（）A．a3＜b2B．2a＜3bC．log2a＜log3bD．loga2＜logb311．将函数f（x）=cos2x﹣sin2x的图象向右平移θ个单位后得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小正值为（）A．B．C．D．12．如图，直线AB与单位圆相切于点O，射线OP从OA出发，绕着点O逆时针旋转，在旋转的过程中，记∠AOP=x（0＜x＜π），OP所经过的单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S，记S=f（x），则下列选项判断正确的是（）A．当x=时，S=B．当任意x1，x2∈（0，π），且x1≠x2，都有＜0C．对任意x∈（0，），都有f（）+f（）=πD．对任x∈（0，），都有f（x+）=f（x）+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．计算：2=．14．在平行四边形ABCD中，E为AB上的中点．若DE与对角线AC相交于F．且=，则λ=．15．已知函数f（x）同时满足以下条件：①定义域为R；②值域为[0，1]；③f（x）﹣f（﹣x）=0．试写出一个函数解析式f（x）=．16．已知函数f（x）=sin（2x+），x∈R，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有个．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答必须写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知cos，．（1）求sin2α的值；（2）求cos（）cos（）的值．第3页（共8页）18．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示。（1）求函数的解析式．（2）当x∈[2，3]时，求函数f（x）的最大值和最小值．19．（12分）如图，已知矩形ABCD，AB=2，AD=，点P为矩形内一点，且||=1，设∠BAP=α。（1）当α=，求的值（2）（）的最大值．20．（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如右图该函数模型如下，f（x）=．根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln9.82≈2.28，ln10.18≈2.32，ln54.27≈3.99）第4页（共8页）21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=6﹣2x，设H（x）=min{f（x），g（x）}（其中min{p，q}表示p，q中的较小者）．（1）在坐标系中画出H（x）的图象；（2）设函数H（x）的最大值为H（x0），试判断H（x0）与1的大小关系，并说明理由。（参考数据：ln2.5≈0.92，ln2.625≈0.97，ln2.75≈1.01．）22．（12分）已知f（x）=x|x﹣a|（a＞0），（1）当a=2时，求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值；（2）对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4成立，求实数a的取值范围．（2017—2018年佛山市高一数学上册·完）第5页（共8页）2017—2018学年佛山市高一（上）期末数学试卷·参考答案满分150分，时间2小时一、单项选择题（12小题，每小题5分，共60分）123456789101112BADAADCCBDCC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．（5分）解：原式=3+=3+lg10=4，故答案4．14．（5分）解：∵=，∴==（），又，∴=+，∵D，E，F三点共线，∴=1，解得λ=3．故答案为：3．15．（5分）解：结合题意得f（x）的定义域是R，值域是[0，1]，函数是偶函数，故f（x）=|sinx|，或|cosx|，或，或（答案不唯一），16．（5分）解：令f（x）=sin（2x+）=1，可知x=+kπ，因为y=lgx为（0，+∞）上单调递增，所以，由∈（0，1）可知lg（）∈（﹣1，0），由+π∈（1，10）可知lg（+π）∈（0，1），由+2π∈（1，10）可知g（+2π）∈（0，1），由+3π∈（1，10）可知g（+3π）∈（0，1），由+4π∈（10，+∞）可知g（+4π）∈（1，2），又因为f（1）=sin（2+）＞0，lg（1）=0，所以函数图象共有八个交点，故答案为：8．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答必须写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）解：（1）∵cos，，∴sinα==…1分∴sin2α=2sinαcosα=2×=﹣……4分第6页（共8页）（2）∵cos（）=（cosα﹣sinα）==﹣……6分cos（）=﹣sinα=﹣，……8分∴cos（）cos（）=（﹣）×（﹣）=……10分18．（12分）解：（1）由图象可知，=﹣=1，则T=2，可得：=π，……2分将点（，0）代入y=sin（πx+φ），可得：sin（π×+φ）=0，所以可得：π×+φ=π+2kπ，k∈Z，解得：φ=π+2kπ，k∈Z，因为：0＜φ＜π，所以：φ=π，可得函数的解析式为：y=sin（πx+）……6分（2）因为函数f（x）=sin（πx+）的周期是T=2，所以求x∈[2，3]时，函数f（x）的最大值和最小值就是转化为求函数在区间[0，1]上的最大值和最小值，……8分由函数图象可知，当x=0时，函数取得最大值为f（0）=sin=，当x=时，函数取得最小值为f（）=sin（+）=﹣1，……12分注：本题也可以直接求函数f（x）=sin（πx+）在区间x∈[2，3]上的最大值和最小值，也可以补全函数在x∈[2，3]上的图象求解，说理正确即可给分．19．（12分）解：（1）如图，以A为坐标原点建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（2，），D（0，），P（cos，sin），即（，），•=（，）•（﹣，）=×（﹣）+（）2=0…5分（2）方法1：设P（cosα，sinα）……6分则=（2﹣cosα，﹣sinα），=（﹣cosα，﹣sinα），=（cosα，sinα）……8分可得+=（2﹣2cosα，2﹣2sinα），则（+）•=2cosα-2cos2α+2sinα-2sin2α=4（sinα+cosα）-2=4sin（α+）-2……10分，第7页（共8页）当α+=，即α=时，（）取得最大值4﹣2=2……12分方法2：由三角函数的定义可设P(cosα，sinα)，则AP=(cosα，sinα)，设线段DC的中点是M，则M(1，3)，所以PC+PD=2PM=2(1cos,3sin)以下同方法1（略）。20．（12分）解：（1）由图可知，当函数f（x）取得最大值时，0＜x＜2……1分此时f（x）=44.21sin（x）+0.21……2分当x=时，即x=时，函数f（x）取得最大值为ymax=44.21+0.21=44.42，故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升……4分（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时x＞2，由54.27e﹣0.3x+10.18＜20，得e﹣0.3x＜……7分两边取自然对数得lne﹣0.3x＜ln……8分即﹣0.3x＜ln9.82﹣ln54.27，∴x＞=5.7……11分故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车……12分21．（12分）解：（1）作出函数H（x）的图象如图……4分（2）法1：由题意可知，x0为函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标，且lnx0=6﹣2x0，所以H（x0）=f（x0）=g（x0），……6分设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+2x﹣6，则x0即为函数F（x）的零点．因为F（2.5）=ln2.5﹣1＜0，F（e）=1﹣（6﹣2e）=2e﹣5＞0，所以F（2.5）•F（e）＜0……8分又函数F（x）在(0，+∞)上单调递增，且为连续函数，所以F（x）有唯一零点x0∈（2.5，e）．因为函数g（x）在(0，+∞)上单调递减，从而H(x0)=g(x0)＜g(2.5)=1，即H(x0)＜1……12分法2：由题意可知，x0为函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标，且lnx0=6﹣2x0，所以H（x0）=f（x0）=g（x0），设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+2x﹣6，则x0即为函数F（x）的零点．因为F（2.5）=ln2.5﹣1＜0，F（e）=1﹣（6﹣2e）=2e﹣5＞0，所以F（2.5）•F（e）＜0又函数F(x)在(0，+∞)上单调递增，且为连续曲线，所以F(x)有唯一零点x0∈（2.5，e）．因为函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，从而H（x0）=f（x0）f（e）,即H（x0）1……12分备注：H(x0)＜1，说明理由的方法比较开放，关键是界定x0∈（2.5，e），因为可以利用g(2.5)=1或f（e）=1，及g(x)或f(x)的单调性进行说明。即H（x0）=g（x0）g(2.5)或H（x0）=g（x0）f（e），即这两方面只需要说明一方面即可，理由表达充分，即可给满分。第8页（共8页）法3：由题意可知，x0为函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标，且lnx0=6﹣2x0，所以H（x0）=f（x0）=g（x0），因为F(x)=f(x)-g(x)=lnx+2x-6，易知x0即为函数F(x)的零点，因为函数F(x)在(0，+∞)上单调递增，且F(2)=ln2—20，F(3)=ln30，所以x0∈（2，3）又F(2.5)=ln2.5—10，则x0∈（2.5，3）F(2.75)=ln2.75—0.50，则x0∈（2.5，2.75）F(2.625)=ln2.625—0.750，则x0∈（2.5，2.625）H(x0)=lnx0ln2.6251，即H(x0)1……12分22．（12分）解：（1）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|=，结合图象可知，函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，在（1，2]为减函数，在（2，3]上为增函数，∵f(1)=1，f(3)=3，∴函数f(x)在[﹣1，3]上的最大值为f(3)=3……4分（2）f（x）=x|x﹣a|=，（a＞0），由题意可得f（x）max﹣f（x）min≤4成立，①当≥1时，即a≥2时，函数f（x）在[﹣1，1]上为增函数，∴f（x）max=f（1）=a﹣1，f（x）min=f（﹣1）=﹣a﹣1，从而