数列的奇偶项3类问题

数列的奇偶项问题问题一：有部分数列的通项公式根据脚标为奇数、偶数而有所不同，称为数列的奇偶项问题.解题过程中，通常要采用奇偶分析法，即对脚标的奇偶分类讨论.看2014年全国高考卷的一道数列题.分析：题中给出的是通项与前n项和的关系.童鞋们对这种题型训练的较多，基本的办法就是利用二者的关系，把前n项和消去，得到相邻两项或相邻多项的关系.从（1）问的结论中，我们能判断数列为等差吗？显然不能，因为等差数列要求后项减去前项是同一个常数，而上式中两项的脚标相差2.当然，我们可以这样来看：第一项，第三项，第五项，...，即奇数项可看作等差数列；第二项，第四项，第六项，...即偶数项可看作等差数列.但是，我们不能认为整个数列为等差数列.第（2）为探索题.对于探索题的解法，通常我们先假设存在，用特殊项，比如利用前3项成等差，求出参数的值（这个过程利用的是条件的必要性）；然后再验证该参数的值的确使得该数列为等差数列（这个过程是证明条件的充分性）.这种先用特殊法求值，再一般验证的办法，有利于减少探索时间，这在高考时间紧迫的情况下尤其显得重要.当然，解到这一步不算完，还要验证.若入=4时数列不是等差数列，则不存在符合题意的入.如何进行一般化的验证呢？证明数列为等差的途径有以下几个.其中，1是定义法，4是中项法，我们在证明复杂数列为等差或等比数列的方法，中项法证明等差数列中分别谈到过.2和3是定义法的拓展和延伸，2称为通项判断法，3称为前n项和判断法.2和3分别试图从通项和前n项和的形式上描述等差数列，当然方法2和3本质上依然是定义法.结合第（1）问提供的结论，我们采用通项判断法.为此需要研究数列的通项公式，为此需要采用奇偶分析法.同样的方法研究偶数项的通项公式.我们看到，不管n为奇数还是偶数，通项公式的形式是相同的.在采用奇偶分析法研究数列的通项时，我们采用了累加法.这个方法简单易用，属于“无脑解法”，不容易犯错.当然，因为奇数项成等差，偶数项也成等差，你也可以利用等差数列的通项公式直接写出奇数项和偶数项的通项公式，前提是项数不要搞错.下面，思考一个一般化的问题.看下面的简图.把等差数列的各项放在数轴上，那么等差数列可理解为任意相邻两项的距离为定值（假设入0）.可是，由题我们只能确定间隔一项的两项距离为定值，如何做到符合等差数列的要求呢？其实也容易，如果我们使得第1项和第2项的距离为入/2，自然地，第2项和第3项的距离就为入/2，第3项和第4项的距离也为入/2，依次往下，多米诺骨牌效应......文章的最后，留这样一道思考题.问题二数列的奇偶项问题22012年高考全国新课标理科卷第16题考到了这样一道数列题.题目非常简洁，解起来却不容易.当年得分率比较低.好多童鞋感慨：怎么第1项也不告诉我啊？在数列的奇偶项问题中，我们谈到过，遇到(-1)^n的形式，要采用奇偶分析法.若n为奇数，得到下面的结论.若n为偶数，有下面的结论.请注意，（1）式和（2）式都无法使用累加法，因为迭代时脚标的奇偶发生变化.所以，通过（1）（2）是无法求出通项公式的.如何处理呢？注意到，（1）（2）中有相同的项a(2k)，我们把两式相减.上式表明：数列中相邻奇数项的和为定值2.这样的话，我们就能够求出奇数项的和.解决复杂问题就是这样，既然我们求解通项公式很困难，能求什么就先求什么，能做到什么程度就先做到什么程度，急不得.如何求偶数项的和呢？偶数项的通项也未知，但是已知偶数项与奇数项的关系，我们可以利用这个关系间接求出偶数项的和.奇数项和偶数项的和都已知，相加即得到结果.下面我们换一个思考问题的角度.既然我们放弃求解通项，采用分奇偶项求和的方法，那么（2）式反映了什么？思考1分钟.你看出来了吗？（2）式表明：从第2项开始（因为k是正整数），相邻两项的和构成等差数列（奇数项脚标比偶数项脚标大）.按照这个思路，我们有了下面的解法.不幸的是，这个求和的项与所求的不一样，少了第1项，多了第61项.它们二者之间有没有关系呢？带着这个疑问，我们有必要回头再研究研究通项.依然采用迭代的方法.这个式子表达什么含义呢？奇数项是以4为周期的，即奇数项每隔四项是相等的.所以，前60项和依然等于1830.本篇强调数列问题的基本方法：1.遇符号数列，采用奇偶分析法；2.不管有没有用，迭代试一试，加减试一试；3.数列求和无定法，尤其要关注那些非常规求和的方法.问题三数列的奇偶项问题3最近，真是数列开会啊，可见这个部分难题多.第1问分析：我们平时习惯于证明肯定的结论，否定形式的命题见的比较少.大家觉得肯定类型的结论和否定类型的结论，哪一类容易证明呢？往往否定的更难证明，因为“不是”意味着多种可能性.聪明的解决办法，就是采用反证法.即假设命题成立，然后推出矛盾，以这种“曲线证明”的方法说明原命题是不成立的.同时请注意，命题中有全称量词“任意”，在反设结论时，应该把全称量词改为特称量词.第（2）问分析：证明复杂数列为等差或者等比的方法，主要为定义法，这一方法在证明复杂数列为等差或等比数列的方法中谈到过.第（3）问分析：考察两个方面的问题，一是等比数列的求和，二是恒成立问题.先写通项、求和.题目要求Sn-12恒成立，属于含参数的恒成立问题.为减少干扰，我们尽可能采用分离参数的方法.我们又一次遇到了数列的奇偶项问题，和数列的奇偶项问题2，数列的奇偶项问题一样，采用奇偶分析法.根据恒成立的原理，求出入的范围.本题复习到的方法：1.用反证法证明否定形式的命题；2.用定义法证明复杂数列为等差或等比数列；3.奇偶分析法处理奇偶项问题.