第5章统计推断：参数估计

第五章参数估计第一节参数估计的基本原理第二节一个总体参数的区间估计第三节两个总体参数的区间估计第四节样本容量的确定学习目标1.估计量与估计值的概念2.点估计与区间估计的区别3.评价估计量优良性的标准4.一个总体参数的区间估计方法5.两个总体参数的区间估计方法6.样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计统计推断的过程样本总体样本统计量例如：样本均值、比例、方差一、估计量与估计值二、点估计与区间估计三、评价估计量的标准第一节参数估计的基本原理2020年4月6日星期一61.估计量：用于估计总体参数的样本统计量如样本均值、样本比例(成数)、样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量2.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是的估计值注：有时，对估计量和估计值并不刻意区分，都称为估计，根据上下文很容易明确其指代一、估计量与估计值(estimator&estimatedvalue)随机变量2020年4月6日星期一7一个总体参数的估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差2xp2SPX2020年4月6日星期一8二、点估计与区间估计矩估计法最小二乘法最大似然法顺序统计量法估计方法点估计区间估计2020年4月6日星期一9点估计(pointestimate)1.做法：用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值例：用样本均值直接作为总体均值的估计；用样本成数直接作为总体成数的估计例：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.缺点：没有考虑抽样误差的大小；没有给出估计值接近总体参数的程度3.点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等区间估计(intervalestimate)1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计的图示X95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65xXXzX21.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平2.表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例3.常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平1.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间3.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间(confidenceinterval)置信区间与置信水平均值的抽样分布(1-)%区间包含了%的区间未包含x1-/2/2xX影响区间宽度的因素1.总体数据的离散程度，用来测度2.样本容量，3.置信水平(1-)，影响z的大小nX常用置信水平及值2020年4月6日星期一16置信水平1-/290%0.100.051.64595%0.050.0251.9699%0.010.0052.582z2z2020年4月6日星期一17评价估计量的标准2020年4月6日星期一18无偏性(unbiasedness)无偏性：估计量(随机变量)的数学期望等于被估计的总体参数中心极限定理证明了：样本平均数和样本成数都满足无偏性XxE)(PpE)(P()BA无偏有偏ˆˆ总体参数1ˆ2ˆ2020年4月6日星期一19有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效AB的抽样分布的抽样分布1ˆ2ˆP()ˆˆ样本平均数比中位数更有效2020年4月6日星期一20一致性(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数大数定律已经证明了：样本平均数和样本成数都满足一致性AB较小的样本容量较大的样本容量P()ˆˆPpXxNnNnlimlim一.总体均值的区间估计二.总体比例的区间估计三.总体方差的区间估计第二节一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差2XP2S总体均值的区间估计(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)总体均值的区间估计(大样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n30)2.使用正态分布统计量Ｚ3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1,0(~NnXZ)(22未知或nSzXnzX总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36位投保个人组成的随机样本，并得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为63.41,37.3713.25.393677.7645.15.392nszx投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁5.39x77.7s总体均值的区间估计(正态总体、２未知、小样本)总体均值的区间估计(小样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)未知小样本(n30)2.使用t分布统计量3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1(~ntnSXtnStX2t分布分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布Xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)Z总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx该食品平均重量的置信区间为101.44克~109.28克之36.105x总体均值的区间估计(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为2.1503,8.14762.1314901677.24131.214902ntx该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时1490x77.24s总体比例的区间估计总体比例的区间估计1.假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似大样本2.使用正态分布统计量Ｚ)1,0(~)1(NnPZ3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为)()-1()1(22未知时或nPPzPnzP总体比例的区间估计(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96%35.74%,65.55%35.9%65100%)651%(6596.1%65)1(2nppzp该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%总体方差的区间估计总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布3.总体方差2的点估计量为S2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为1~1222nSn111122122222nSnnSn总体方差的区间估计(图示)221/22/2总体方差1的置信区间自由度为n-1的2总体方差的区间估计(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表7所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体方差的区间估计(例题分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根据样本数据计算得s2=93.212置信度为95%的置信区间为401.12)24()1(2975.0212n364.39)24()1(2025.022n39.18083.56401.1221.93125364.3921.9312522该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54克~13.43克一.两个总体均值之差的区间估计二.两个总体比例的之差区间估计三.两个总体方差比的区间估计第三节两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值之差比例之差方差比2121222121XX21PP2221SS两个总体均值之差的区间估计(独立大样本)两个样本均值之差的抽样分布11总体122总体2抽取简单随机样样本容量n1计算X1抽取简单随机样样本容量n2计算X2计算每一对样本的X1-X2所有可能样本的X1-X212抽样分布两个总体均值之差的估计(大样本)1.假定条件两个总体都服从正态分布，1２、2２已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n130和n230)两个样本是独立的随机样本2.使用正态分布统计量Z)1,0(~)()(2221212121NnnXXZ两个总体均值之差的估计(大样本)1.1２、2２已知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为222121221)(nnzXX222121221)(nSnSzXX2.1２、2２未知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下