高考数学总复习-第1节-矩阵变换及其性质、变换的复合与二阶矩阵的乘法课件-新人教A版选修4-2

第一节矩阵变换及其性质、变换的复合与二阶矩阵的乘法1．了解矩阵的有关概念．2．理解常见的平面变换，从变换角度理解矩阵的乘法和逆矩阵．一、矩阵的相关概念1．矩阵及表示在数学中，我们把形如(13，80906085)，23m3－24这样的矩形数字(或字母)阵列称做，一般地，我们用大写黑体拉丁字母A，B，…或者(aij)来表示矩阵，其中i，j分别表示元素aij所在的行与列．同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的．矩阵行列元素2．零矩阵所有元素都为0的矩阵叫做，记为．3．矩阵相等对于两个矩阵A，B，只有当A，B的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A和B才相等，此时记作．A＝B零矩阵04．矩阵与列向量的关系一般地，我们把像[a11a12]这样只有一行的矩阵称为，而把像a11a21)这样只有一列的矩阵称为，并用希腊字母α，β，…来表示列矩阵．根据上述定义，平面上向量a＝(x，y)的坐标和平面上的点P(x，y)都可以看做是行矩阵[xy]，也可以看做是列矩阵xy)．因此，我们常将[xy]称为行向量，而将)称为列向量．习惯上，我们把平面向量(x，y)的坐标写成列向量xy)的形式．行矩阵列矩阵xy二、二阶矩阵与平面列向量的乘法1．乘法规则一般地，我们规定行矩阵[a11a12]与列矩阵b11b21)的乘法规则为，二阶矩阵a11a12a21a22)与列向量x0y0)的乘法规则为．[a11a12]b11b21)＝[a11×b11＋a12×b21]a11a12a21a22x0y0＝a11×x0＋a12×y0a21×x0＋a22×y02．平面向量的变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个，简记为．变换T：(x，y)→(x′，y′)三、几种常见的平面变换1．恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵1001对应的变换，都把自己变成自己．因此，我们把这种特殊的矩阵称为或，所实施的对应变换称做．恒等变换矩阵单位矩阵恒等变换2．伸压变换像矩阵10012，2001这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称做沿y轴或x轴的，对应的变换称为，简称．垂直伸压变换矩阵反射轴伸压变换3．反射变换像100－1，－1001，－100－1这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为，对应的变换叫做．相应地，前者称做，后者称做，其中定直线称为，定点称做．反射变换矩阵反射变换轴反射中心反射中心反射反射点4．旋转变换矩阵cosθ－sinθsinθcosθ通常叫做旋转变换矩阵，对应的变换称做旋转变换，其中的角θ叫做旋转角，点O叫做旋转中心．5．投影变换像1000，1010这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，我们称之为投影变换矩阵，相应的变换称做投影变换．6．切变变换类似课本例中对纸牌实施的变换通常叫做，对应的矩阵叫做．切变变换切变变换矩阵四、线性变换的基本性质1．设向量α＝xy，则λα＝；2．设向量α＝x1y1，β＝x2y2，则α＋β＝；3．A是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A(λα)＝，A(α＋β)＝．4．二阶矩阵对应的线性变换把平面上的直线变成．λxλyx1＋x2y1＋y2λAαAα＋Aβ直线或一点五、变换的复合与矩阵的乘法1．复合变换设A、B是平面上的两个变换，将平面上每个点P先用变换A变到P′，再用B将P′变到P″.则从P到P″也是平面上的一个变换，称为A、B的复合变换，也称为B与A的，记作．(注意不能记作AB，即AB与BA含义不同)乘积BA2．二阶矩阵的乘法公式给定两个矩阵A＝a11a12a21a22，B＝b11b12b21b22．则AB＝a11a12a21a22b11b12b21b22＝．a11×b11＋a12×b21a11×b12＋a12×b22a21×b11＋a22×b21a21×b12＋a22×b223．二阶矩阵乘法的性质单位矩阵I＝1001)与任意二阶矩阵M的乘积满足II＝I，IM＝M，MI＝M，任意二阶矩阵的乘法满足结合律即，但不满足交换律．即AB≠BA；也不满足消去律．(AB)C＝A(BC)1．设矩阵A为二阶矩阵，且规定其元素aij＝i·j，i＝1，2；j＝1，2，则A＝()A.1224)B.1424)C.2142)D.4224)解析：由已知a11＝1×1＝1，a12＝1×2＝2，a21＝2×1，a22＝2×2.答案：A2．A＝1002，B＝14－23，则AB＝()A.－18－26B.1423C.14－46D.0120答案：C3．如果矩阵0－110把点A变成A′(3，1)，则A点的坐标为()A．(1，－3)B．(－3，1)C．(3，1)D．(0，0)解析：设A(x，y)，由题意0－110xy＝31，得x＝1，y＝－3.答案：A4．直线x＋y＝5在矩阵1100对应的变换下变成______．解析：设直线x＋y＝5上任意一点P(x，y)在矩阵1100的变换下变成点P′(x′，y′)．则x′y′＝1100xy＝x＋y0＝50即x′＝5y′＝0，∴P′(5，0)．答案：(5，0)5.如图所示，已知正方形ABCD和▱A′B′C′D′中，各点的坐标分别为A(－1，2)，B(3，2)，C(3，－2)，D(－1，－2)，A′(－1，13)，B′(3，7)，C′(3，3)，D′(－1，－113)，在变换矩阵M的作用下，A，B，C，D依次变换为A′，B′，C′，D′，则矩阵M为______．解析：该变换为切变变换，设矩阵M为10k1，则10k13－2＝33．所以3k－2＝3,解得k＝53，所以M为10531．答案：105311.首先分清哪一个是变换前的点，哪一个是变换后的点，然后把点坐标写成列向量的形式．2．其次根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则进行解题．求在矩阵321－3对应的变换作用下得到点(2，－4)的平面上的点P的坐标．【思路点拨】设出P点坐标(x，y)，由321－3)xy)＝2－4)求解．【自主解答】设P点坐标为(x，y)，则xy→2－4＝321－3xy，即3x＋2y＝2，x－3y＝－4，解得x＝－211，y＝1411.∴P点的坐标为(－211，1411)．【活学活用】1.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝2001对应的变换下得到曲线F，求F的方程．解：设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x0′，y0′)，则有x0′y0′＝2001x0y0，即x0′＝2x0，y0′＝y0，所以x0＝x0′2，y0＝y0′.又因为点P在椭圆上，故4x20＋y20＝1，从而(x0′)2＋(y0′)2＝1.所以曲线F的方程为x2＋y2＝1.求变换后的解析式常采用数形结合的方法，先观察是属于哪一种变换，然后利用解析几何中的相关点法(亦称转移法)来解．T是平面到直线l：y＝x上的投影．求下列图形在T作用下的象．(1)直线l1，y＝2x；(2)直线l2，y＝－x；(3)正方形OABC，其中O(0，0)，A(2，1)，C(－1，2)．【思路点拨】找准投影变换的矩阵是解决此类题目的关键，另外注意运用数形结合的思想方法．【自主解答】直线方程y＝x的一般式为x－y＝0.设T：P(x，y)⇒P′(x′，y′)．易知平面到直线l：x－y＝0的投影变换的矩阵为12121212．∴x′y′＝12121212xy＝12x＋12y12x＋12y，即x′＝12x＋12y，y′＝12x＋12y①(1)如图(1)，当x取遍全体实数时，点P(x，2x)取遍直线y＝2x上所有的点，将P的坐标代入①得P′＝T(P)的坐标：x′＝y′＝12x＋12(2x)＝32x.当x取遍全体实数时，(x′，y′)＝(32x，32x)取遍直线y＝x上所有的点．∴直线y＝2x在y＝x上的投影是整条直线y＝x.(2)如图(1)，当x取遍全体实数时，点P(x，－x)取遍直线y＝－x上全体实数．P(x，－x)的象P′(x′，y′)的坐标x′＝y′＝12x＋12(－x)＝0，P′(0，0)是原点．∴直线y＝－x的象为原点O.(3)如图(2)，先求点B的坐标．由OB＝OA＋OC＝(2，1)＋(－1，2)＝(1，3)知道点B的的坐标为(1，3)．点O的象是自己，得A、B、C的坐标代入①，计算可得这3点的象A′、B′、C′的坐标分别是A′(32，32)，B′(2，2)，C′(12，12)．∴正方形OABC的象应是四条边的象OA′、A′B′、B′C′、C′O的并集，即OB′.【活学活用】2.分别给出下列矩阵表示的变换对图中△ABC的作用结果．其中A(－3，0)，B(0，2)，C(2，0)．(1)100－2；(2)1101；(3)0110；(4)12－323212．解：(1)矩阵100－2表示横坐标不变，纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故△ABC变为△A′B′C′，其中A′(－3，0)，B′(0，－4)，C′(2，0)；(2)矩阵1101表示纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加的切变变换，故△ABC变为△A′B′C′，其中A′(－3，0)、B′(2，2)、C′(2，0)；(3)矩阵0110表示将图形变换为与之关于直线y＝x对称的反射变换，故△ABC变为△A′B′C′，其中A′(0，－3)，B′(2，0)、C′(0，2)；(4)矩阵12－323212表示绕原点逆时针旋转60°的旋转变换，故△ABC变为△A′B′C′，其中A′(－32，332)，B′(－3，1)，C′(1，3)．1.平面几何中6种常见变换及其矩阵表示，实际上，它们之间有着丰富的联系，比如“纹丝不动”的恒等变换可以看做是伸缩、旋转、切变变换的一种特殊情况，而关于坐标原点的反射变换也可认为是绕原点做了(2k＋1)π(k∈Z)角度的旋转变换，不仅如此，关于坐标原点的反射变换可以分解为先作关于x轴的反射，再作关于y轴的反射；绕原点作α＋β角的旋转变换可以分解为先绕原点作α角的旋转，再绕原点作β角的旋转(或者相反)．2．在数学中，一一对应的平面几何变换都可