Borda-排序法

计数法BORDA计数法是最早由Jena-CharlesdeBorda提出的一种经典的投票表决法，即排序式的投票制度。其方法是在投票时不仅要让投票人表达最希望哪些人当选，还应当让投票者给这些心目中合格的候选人进行排序。也就是，投票人通过投票表达出对各候选人的偏好次序。然后对候选人从高到低进行评分并累加，得分最高者最终获胜。一、简介二、评分法则设有n个投票者，p个候选人pxxx,,,21如果一个投票者的偏好次序为：pxxx21则候选人的得分依次为1,,1,pppxxx,,,21这样，每个候选人都有各个投票者的评分，分别累加，得到各人的总评分，按高低依次排序即可。当然，这个分值也是可以适当调整的。例1：55位记者要在五支球队的提名代表(记为A、B、C、D、E)中确定一位最有价值球员。现在要求每位记者都对他们的偏爱对五名提名候选人进行排序。55名记者的偏爱次序是：记者人数181210942第一选择ABCDEE第二选择DEBCBC第三选择EDEEDD第四选择CCDBCB第五选择BAAAAA解：A:5×18+1×(12+10+9+4+2)=127分；即用BORDA计分法分析，五位球员的排序为：D、E、C、B、A。也就是说，D为最有价值球员。B:5×12+4×(10+4)+2×(2+9)+1×18=156分；C:5×10+4×(9+2)+2×(18+12+4)=162分；D:5×9+4×18+3×(12+4+2)=2×10=191分；E:5×(4+2)+4×12+3×(18+10+9)=189分。三、数学模型为了方便计算，下面建立一个统一的数学模型：设有m个投票者，n个候选人，则有n!种偏好顺序。对第k个投票者，记jijikijxxkxxkr个投票者不认为第　个投票者认为，第,01若i=j，则取1kijr构造第k个投票者的偏好矩阵：knnknknknkkknkkrrrrrrrrr212222111211则第k个投票者给第i个候选人的BORDA评分为：njkijkirr1由此构造所有投票者对所有候选人的投票评分矩阵：mnnnmmrrrrrrrrr212221212111所有投票人对第i个候选人的累计评分为：mkkiirr1练习：一个班上有50名同学，要在4个候选人（A,B,C,D)中选一个班长。有一名同学弃权，其余49名同学的偏好次序如下：BCDAACDBADBCABCD认为认为认为认为有18人；有12人；有10人；有9人。（1）用BORDA计分法分析谁应当选。（2）思考一下，BORDA评分法有什么问题。四、方法改进在练习中若采用BORDA方法，以4分、3分、2分、1分记排第一、第二、第三、第四，则各候选人的得分为：A:4×18＋1×31=103；B:1×18＋4×12＋3×10＋2×9=114；C:2×(18＋12)＋4×10＋3×9=127；D:3×(18＋12)＋2×10＋4×9=146。D会获最高分而当选。很容易看出BORDA法仅仅考虑到所有候选人的完全偏好序，并不能反应投票者偏好的完备信息(如偏好强度)。如果实际情况是，对于39个把D排在C前面的人都认为D和C的差别不大，而其他10个人却认为C远远优于D，这样看来BORDA方法的合理性值得怀疑。怎么改进使之更加合理呢？由所有投票者对所有的候选人评分，分值在[0,1]区间自由确定，如果对其偏好强，评分就高；如果偏好弱，评分就低。这样，投票者就有更高的评分自由度，并且不丢失偏好信息。一般意义上的选举和以上问题类似。选举就是在公平的意义下，将社会个体对各项政策的偏爱和意向给出一个最好的排序。任何选举结果的公平性首先体现在，不管采用的是什么选举方法，选举结果在某种程度上至少代表了相对多数选举人的意愿。那么，有没有一个是的全社会都满意的最公平的选举办法呢？BORDA计分法是一种易于量化的选举方法。它一定能保证公平吗？我们用一个例子来说明。例2：某赛马场购得红玉、白雪、如意、飞驹四种良马，业主为了对它们进行估价，决定让它们进行四次比赛，使用波达计分法，成绩如下所示：1234红玉第一第三第二第三白雪第二第一第四第二如意第四第四第一第一飞驹第三第二第三第四如果用3分、2分、1分、0分来记第一、第二、第三、第四，我们可以算出各自分数：红玉：3+1+2+1=7；白雪：2+3+0+2=7；如意：0+0+3+3=6；飞驹：1+2+1+0=4.结果是红玉和白雪并列第一。如果用5分、3分、1分、和0分来记名次。则红玉：5+1+3+1=10；白雪：3+5+0+3=11；如意：0+0+5+5=10；飞驹：1+3+1+0=5.结果是白雪独占魁首，红玉与如意却并列亚军。如果用5分、2分、1分、和0分来记名次。则红玉：5+1+2+1=9；白雪：2+5+0+3=9；如意：0+0+5+5=10；飞驹：1+2+1+0=4.这一次，如意却脱颖而出。如果用5、3、2、1来计分，你看看会出现什么结果？这个例子说明了选举理论中，使用波达计分法是不稳定的。不同的人从不同的利益角度出发，可能会设计出符合自己利益的计分法(权重)，每一种都在理，却可能导致截然不同的结论。当然，选举的方法不止这一种。常用的选举方法还有：(1)多数原则——以获得最多票的议案作为表决结果。但这时的赢家未必是大多数。(2)大多数原则——以获得半数以上票数作为选举结果。(3)逐轮淘汰。在大多数原则下，能在捉对表决中每次都胜出的一方作为选举结果，此时的赢家叫做鹰派赢家。以例1来简单说明例1：55位记者要在五支球队的提名代表(记为A、B、C、D、E)中确定一位最有价值球员。现在要求每位记者都对他们的偏爱对五名提名候选人进行排序。55名记者的偏爱次序是：记者人数181210942第一选择ABCDEE第二选择DEBCBC第三选择EDEEDD第四选择CCDBCB第五选择BAAAAA解：（1）用BORDA计分法，以5、4、3、2、1分记名次A:5×18+1×(12+10+9+4+2)=127分；B:5×12+4×(10+4)+2×(2+9)+1×18=156分；C:5×10+4×(9+2)+2×(18+12+4)=162分；D:5×9+4×18+3×(12+4+2)=2×10=191分；E:5×(4+2)+4×12+3×(18+10+9)=189分。所以五位球员的排序为：D、E、C、B、A。也就是说，D为最有价值球员。(2)按照多数原则，A以最多首选票18票当选，但所得票数不足总数的三分之一。(3)逐轮选举。这种方法是在两位首选票领先的候选人中，用“大多数原则”进行决胜表决。第一选择是A、B最多，因此入围。但在下一轮表决中，有37人偏爱B，因此B当选。(4)逐轮淘汰。方法是逐轮淘汰票数最少的。第一轮，从表格中可以看出，E(票数为6)是最先被淘汰的。第二轮中，E的6票将分别记到B(4票)和C(2票)名下，因此有：A(18),B(16)，C(12),D(9)。继而D被淘汰。根据第三列，D的9票将全部记到C的名下。即：A(18),B(16)，C(21)。因此下一轮B被淘汰。最后C得票为37票，超过了A的18票，因此当选。(5)逐对表决。这种方法恰如单循环赛。每2位候选人进行一次面对面的表决，共需10次，每位参加4次。可以发现E以37比18票赢了A，以33比22票赢了B，以36比19票赢了C，以28比27票赢了D。E成了鹰派赢家。