材料力学-第六章-弯曲变形

Chapter6DeflectionofBeams(DeflectionofBeams)第六章弯曲变形(DeflectionofBeams)§6-1基本概念及工程实例（Basicconceptsandexampleproblems)§6-4用叠加法求弯曲变形(Beamdeflectionsbysuperposition)§6-3用积分法求弯曲变形（Beamdeflectionbyintegration)§6-2挠曲线的微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)§6-5静不定梁的解法(Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams)§6-6提高弯曲刚度的措施(Themeasurestostrengthenrigidity)(DeflectionofBeams)§6-1基本概念及工程实例（Basicconceptsandexampleproblems）一、为何要研究弯曲变形仅保证构件不会发生破坏，但如果构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。][zWM(DeflectionofBeams)车削加工一等截面构件，如果构件的的变形过大，会加工成变截面；案例1：(DeflectionofBeams)如果钻床的变形过大，受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，不能准确定位。案例2：(DeflectionofBeams)车间桁吊大梁的过大变形案例3：(DeflectionofBeams)会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还会引起较严重的振动；(DeflectionofBeams)桥梁如果产生过大变形楼板、床、双杠横梁等都必须把它们的变形限制在允许的范围内。屋顶(DeflectionofBeams)汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；案例1：２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。(DeflectionofBeams)安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过程中有较大的变形吸收落物或碰撞能量，保证驾驶员的人身安全案例2：(DeflectionofBeams)案例3：当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？(DeflectionofBeams)案例4：蹦床、跳板跳水要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。(DeflectionofBeams)3、研究弯曲变形还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析以及振动分析等方面。除了解决构件的刚度外，(DeflectionofBeams)1.挠度（Deflection）二、基本概念（Basicconcepts）w挠度AByx'B横截面形心C（即轴线上的点）在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度.用w表示.C'C(DeflectionofBeams)2.转角（Slope）转角AC'CyBxw挠度（B横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角.用表示(DeflectionofBeams)3.挠曲线（Deflectioncurve）梁变形后的轴线称为挠曲线.式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度.挠曲线yABx转角w挠度（C'CB挠曲线方程（equationofdeflectioncurve）为()wfx(DeflectionofBeams)4.挠度与转角的关系（Relationshipbetweendeflectionandslope）：yABx转角w挠度C'CB挠曲线tan''()wwx(DeflectionofBeams)5.挠度和转角符号的规定（Signconventionfordeflectionandslope）yABx转角w挠度C'CB挠曲线挠度和转角的符号是根据所选坐标系而定的挠度：与y轴正向一致为正，反之为负。转角：挠曲线上某点处斜率为正时，转角为正，反之为负。(DeflectionofBeams)§6-2挠曲线的微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)一、推导公式（Derivationoftheformula)1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系（Relationshipbetweenthecurvatureofbeamandthebendingmoment）1MEI横力弯曲时,M和都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响,则1()()MxxEI(DeflectionofBeams)2.由数学得到平面曲线的曲率（Thecurvaturefromthemathematics）3221()(1)wxw322()(1)wMxEIw()MxwEI与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为2w(DeflectionofBeams)在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,w轴竖直向上为正.曲线向上凸时:OxwxOw00wM因此,w与M的正负号相同00Mw曲线向下凸时:00wM00MwMMMM(6.5)()MxwEI(DeflectionofBeams)此式称为梁的挠曲线近似微分方程（differentialequationofthedeflectioncurve）(6.5)()MxwEI近似原因:（1）略去了剪力的影响;（3）tan()wwx2w（2）略去了项;(DeflectionofBeams)§6-3用积分法求弯曲变形（Beamdeflectionbyintegration)一、微分方程的积分（Integratingthedifferentialequation)若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成()MxwEI()EIwMx(DeflectionofBeams)2.再积分一次,得挠度方程（Integratingagaingivestheequationforthedeflection）二、积分常数的确定（Evaluatingtheconstantsofintegration）1.边界条件（Boundaryconditions）2.连续条件（Continueconditions）1.积分一次得转角方程（Thefirstintegrationgivestheequationfortheslope）1()dEIwMxxC12()ddEIwMxxxCxC(DeflectionofBeams)AB在简支梁中,左右两铰支座处的挠度Aw和Bw都等于0.在悬臂梁中,固定端处的挠度和转角Aw都应等于0.A0Aw0Bw0Aw0AAB(DeflectionofBeams)lABxFw例题1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角maxwmax(DeflectionofBeams)（1）弯矩方程为解：（2）挠曲线的近似微分方程为xlwABxF对挠曲线近似微分方程进行积分()()(1)MxFlx()(2)EIwMxFlFx21(3)2FxEIwFlxC2312(4)26FlxFxEIwxCC(DeflectionofBeams)梁的转角方程和挠曲线方程分别为21(3)2FxEIwFlxC2312(4)26FlxFxEIwxCC边界条件0,00,0xwxw将边界条件代入（3）（4）两式中,可得1200CC22FxEIwFlx2326FlxFxEIw(DeflectionofBeams)BwmaxmaxxlyAF（）222max|22xlFlFlFlEIEIEI都发生在自由端截面处maxmaxw和（）3max|3xlPlwwEI(DeflectionofBeams)例题2图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其maxmaxw和ABql(DeflectionofBeams)解:由对称性可知,梁的两个支反力为RR2ABqlFFABqlFRAFRBx2()22qlqMxxx2346qlqEIwxxC222qlqEIwxx341224qlqEIwxxCxD此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为(DeflectionofBeams)梁的转角方程和挠曲线方程分别为233(64)24qlxxlEI233(2)24qxwlxxlEI边界条件x=0和x=l时,0wxABqlFRAFRBAB在x=0和x=l处转角的绝对值相等且都是最大值，最大转角和最大挠度分别为3max24ABqlEIwmax在梁跨中点处有最大挠度值4max25384lxqlwwEI(DeflectionofBeams)例题3图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角.ABFDabl(DeflectionofBeams)解:梁的两个支反力为RAbFFlRBaFFlFRAFRBABFDabl12xx两段梁的弯矩方程分别为1R(0)AbMFxFxxal2()()bMFxFxaaxll(DeflectionofBeams)两段梁的挠曲线方程分别为（a）（0xa）近似微分方程11bFxEIwMl转角方程2112bxEIwFCl挠度方程31116bxEIwFCxDl（b）（axl）22()bFxFxaEIwMl2222()22bFxaxFEIwCl33222()66bFxaxFxEIwCDl(DeflectionofBeams)D点的连续条件边界条件在x=a处12ww12ww在x=0处,10w在x=l处,20w代入方程可解得:120DD2212()6FbCClblABFDabl12FRAFRB(DeflectionofBeams)22211()36FbwlbxlEI2221][6FbxlwbxlEI2222221[()]()23Fbl'xawxlblEIb33222[()]()6FblxxawxlblEIb（a）（0xa）（b）（axl）(DeflectionofBeams)将x=0和x=l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当ab时,右支座处截面的转角绝对值为最大10()|6AxFablblEI2()|6BxlFablalEImax()6BFablalEI(DeflectionofBeams)简支梁的最大挠度应在处0w'先研究第一段梁,令得10w22211()036Fb'wlbxlEI221(2)33lbaabx当ab时,x1a最大挠度确实在第一段梁中12223max()0064293xxFbPblw|lb.wEIlEI(DeflectionofBeams)梁中点C处的挠度为结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.222(34)0.062548CFbFblwlbEIEI12223max()0064293xxFbFbly|lb.wEIlEI(DeflectionofBeams)（a）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程.只增加了(x-a)的项.（b）对(x-a)的项作积分时,应该将(x-a)项作为积分变量.从而简化了确定积分常数的工作.积分法的原则(DeflectionofBeams