19 解直角三角形

第34讲解直角三角形要点梳理1．锐角三角函数的意义，Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则：∠α的正弦sinα＝__∠?的对边斜边__；∠α的余弦cosα＝__∠?的邻边斜边__；∠α的正切tanα＝__∠?的对边∠?的邻边__．要点梳理2．30°，45°，60°的三角函数值，如下表：正弦余弦正切30°__12____32____33__45°__22____22____1__60°__32____12____3__要点梳理3．同角三角函数之间的关系：sin2α＋cos2α＝__1__；tanα＝__sinαcosα__．互余两角的三角函数关系式：(?为锐角)sin(90°－?)＝__cosα__；cos(90°－?)＝__sinα__．函数的增减性：(0°＜?＜90°)(1)sinα，tanα的值都随?__增大而增大__；(2)cosα随?__增大而减小__．要点梳理4．解直角三角形的概念、方法及应用：解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则：(1)边与边的关系：__a2＋b2＝c2__；(2)角与角的关系：__∠A＋∠B＝90°__；(3)边与角的关系：__sinA＝cosB＝ac，cosA＝sinB＝bc，tanA＝ab，tanB＝ba__．要点梳理5．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题．(1)铅垂线：重力线方向的直线；要点梳理(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；(5)坡角：坡面与水平面的夹角；要点梳理(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝hl＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；要点梳理(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．转化思想(1)在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为求两条边的问题，这样就把新知识(求锐角三角函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因此不可避免地用到勾股定理．若原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型(直角边还是斜边)，再运用定义求解；也可以直接通过字母来判断边的位置和类型，即∠A的对边为BC，∠B的对边为AC，∠C的对边为AB.(2)在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题．注意在画图过程中考虑一定要周到，不可遗漏某一种情况．方法技巧将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系进行计算，当有些图形不是直角三角形时，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．解题时可设未知数进行求解，从要求的量所在的直角三角形分析，解之，若条件不足，转而先去解所缺条件所在的直角三角形，然后返回；若条件仍不足，再去解第二次所缺条件所在的直角三角形，直至与全部已知条件挂上钩，然后层层返回．1．(2014·杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝()A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°2．(2014·湖州)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝12，则BC的长是()A．2B．8C．25D．45DA3．(2014·毕节)如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD＝35，BC＝4，则AC的长为()A．1B.203C．3D.163D4．(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是()A．9mB．6mC．63mD．33mB5．(2014·贺州)网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA＝____．35锐角三角函数的定义【例1】(2014·武汉)如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是()A.51213B.125C.3513D.2313【点评】本题主要考查了三角函数的定义及相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是找准线段及角的关系．B1．(2013·兰州)△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是()A．csinA＝aB．bcosB＝cC．atanA＝bD．ctanB＝bA锐角三角函数的计算【例2】(1)(2013·菏泽)计算：2－1－3tan30°＋(2－1)0＋12＋cos60°.(2)(2014·攀枝花)在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋(cosB－12)2＝0，那么∠C＝____．75°解：(1)原式＝12－3×33＋1＋23＋12＝2＋3【点评】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记．2．(2013·孝感)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是()A．23－2B．0C．23D．2B解直角三角形【例3】(2012·安徽)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝23，∴CD＝AC×sinA＝23×0.5＝3，AD＝AC×cosA＝23×32＝3，在Rt△BCD中，∠B＝45°，则BD＝CD＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3【点评】将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件．3．(2014·宁夏)在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1.求BC的长．解：在Rt△ABD中，∵sinB＝ADAB＝13，又∵AD＝1，∴AB＝3，∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝32－12＝22.在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.∴BC＝BD＋DC＝22＋1解直角三角形的实际运用【例4】(2014·广安)为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长602米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．(1)若修建的斜坡BE的坡比为3∶1，求休闲平台DE的长是多少米？解：(1)∵FM∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡AB长602米，D是AB的中点，∴BD＝302米，∴DF＝BD·cos∠BDF＝302×22＝30(米)，BF＝DF＝30米，∵斜坡BE的坡比为3∶1，∴BFEF＝31，解得EF＝103(米)，∴DE＝DF－EF＝30－103(米)．答：休闲平台DE的长是(30－103)米(2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？设GH＝x米，则MH＝GH－GM＝x－30(米)，DM＝AG＋AP＝33＋30＝63(米)，在Rt△DMH中，tan30°＝MHDM，即x－3063＝33，解得x＝30＋213，答：建筑物GH的高为(30＋213)米【点评】此题考查了坡度、坡角问题以及俯角、仰角的定义．要注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．4．(2014·邵阳)一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)解：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，∴CD＝12AC＝40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°－37°＝53°，∴BC＝CDsin∠CBD≈400.8＝50(海里)，∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为50÷40＝54(小时)试题(2012·青岛)如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离(B，F，C在一条直线上)．(1)求教学楼AB的高度；(2)学校要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．(结果保留整数，参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25)审题视角(1)分清已知条件和未知条件(待求)；(2)将问题集中到一个直角三角形中；(3)利用直角三角形的边角之间关系(三角函数)求解．规范解题解：(1)过点E作EM⊥AB，垂足为M.设AB为x.在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x，∴BC＝BF＋FC＝x＋13.在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，AM＝AB－BM＝AB－CE＝x－2，∴tan22°＝AMME＝x－2x＋13＝25，∴x＝12.即教学楼的高度为12m.(2)由(1)可得，ME＝BC＝x＋13＝12＋13＝25.在Rt△AME中，cos22°＝MEAE，∴AE＝MEcos22°≈251516≈27.即A，E之间的距离约为27m.答题思路解直角三角形应用题的一般步骤为：第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知条件与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解直角三角形的数学模型；第三步：求解——利用三角函数有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．试题在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝3∶4∶5，求证：sinA＋sinB＝75.错解设a＝3k，b＝4k，c＝5k，则sinA＝ac＝3k5k＝35，sinB＝bc＝4k5k＝45，∴sinA＋sinB＝35＋45＝75.剖析本题中没有说明∠C＝90°，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先证明△ABC为直角三角形，且∠C＝90°后才能用定义．正解设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k＞0)，∵a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2＝c2，∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．∴∠C＝90°，则sinA＝ac＝3k5k＝35，sinB＝bc＝4k5k＝45，∴sinA＋sinB＝35＋45＝75.考点跟踪突破解直角三角形一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2014·滨州)在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝35，cosA＝45，tanA＝34，则BC的长为()A．6B．7.5C．8D．12.5A2．(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是()A.31010B.12C.13D.1