线性控制理论

第6章线性反馈系统的时间域综合研究分析：对于一个具体的控制系统和已知的外部输入，如何从理论上对它的运动行为如状态运动规律、稳定性等，结构特性如结构特征、能控性、能观测性等进行确定。综合：给定系统方程，根据对系统性能的要求，如何确定系统的外部输入即控制作用，使系统的性能能全面满足技术要求。通常控制作用取为反馈形式。无论是抑制外部扰动的影响还是减少内部参数变动的影响，反馈控制都要远优越于非反馈控制。本章以状态空间方法为基础，针对常用典型形式性能指标，讨论线性时不变系统的反馈控制综合问题。6．1引言综合问题的提法系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成。所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制u(t)，使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标。对象目标手段CxytxxBuAxx0)0(:00状态反馈输入：u(t)=－Kx(t)+(t)输出反馈输入：u(t)=－Fy(t)+(t)系统综合系统设计理论“设计”－确定u(t)的形式和构成工程设计－考虑各种实际问题性能指标的类型性能指标实质上是对所要综合的控制系统在运动过程行为上的一种规定。非优化型性能指标(不等式型)优化性型能指标(极值型)（1）镇定问题（2）极点配置（3）解耦控制（4）跟踪问题dtJTT0)())((RuuQxxu研究综合问题的思路建立可综合条件控制规律的“算法”工程实现中的一些理论问题（1）状态反馈物理构成问题（2）系统模型不准确性和参数摄动问题（3）对外部扰动影响的抑制问题控制规律的“算法”－综合问题的计算方法和步骤，适于编程，数值稳定性。6．2状态反馈和输出反馈状态反馈设连续时间线性时不变系统CxytxxBuAxx0)0(:00B∫CAxxyuKυ状态反馈下受控系统的输入为：u=－Kx+υ，K∈Rp×nCxyKxBAxxxf)(:状态反馈系统∑xf的状态空间描述为：CxytxxBxBKAxxf0)0()(:0特征值改变GK(s)=C(sI-A+BK)-1B结论1：对连续时间线性时不变系统，状态反馈保持能控性，不保持能观测性。维数没有增加输出反馈设连续时间线性时不变系统CxytxxBuAxx0)0(:00B∫CAxxyuFυ输出反馈下受控系统的输入为：u=－Fy+υ，F∈Rp×qCxyFyBAxx)(:yf输出反馈系统∑yf的状态空间描述为：CxytxxBxBFCAx0)0()(:0yf维数没有增加GF(s)=C(sI-A+BFC)-1B结论2：对连续时间线性时不变系统，输出反馈保持能控性和能观测性。GF(s)=G0(s)[I+FG0(s)]-1特征值改变状态反馈和输出反馈的比较反馈属性：状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈。反馈功能：状态反馈在功能上远优于输出反馈。改善输出反馈的途径：扩展输出反馈（动态输出反馈）B∫CAxxyu并联补偿器υ串联补偿器反馈实现上，输出反馈要优越于状态反馈。解决状态反馈物理实现的途径：引入状态观测器B∫CAxxyu状态观测器υKxˆ扩展状态反馈和扩展输出反馈的等价性。6．3状态反馈极点配置：单输入情形极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。问题的提法给定连续线性时不变单输入受控系统BuAxx控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望闭环极点组。极点配置问题，就是通过选择线性反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。任意指定期望闭环极点组：1*,2*,···,n*在状态反馈下，控制输入为：u=－Kx+υ，K∈Rp×nBυxBKAx)(闭环系统为：其特征值满足：i(A-BK)=i*,i=1,2,···,n期望闭环极点组(1)期望闭环极点组的性能指标属性二重性理论计算：期望闭环极点组控制工程：直观性能指标(2)控制工程中基本类型的性能指标时间域：，ts，tr，td，tp频率域：Mr,r,cc可以相互转化(3)基本类型性能指标和期望闭环极点组的主导极点对的关系2211,nnjss(4)期望闭环极点组的确定工程型的性能指标2211,nnjssn-2个期望闭环极点Re(si)=(46)Re(s1),i=3,4,···,n极点配置定理对单输入n维连续时间线性时不变受控系统：buAxx系统全部n个极点可任意配置的充分必要条件为（A，b）完全能控。极点配置算法思路：在受控系统能控条件下，将状态空间描述化为能控规范型，由于0111)(ssssssnnncAIAI注：当系统不完全能控时，若不能控部分特征值属于期望闭环特征值，仍然能够配置系统的全部闭环极点xPx1xxbuPAPxPxccccyubA1111,,,1111nnnbAbbAP*0*11*1*1*)()(sssssnnnini极点配置算法Step1:判别（A，b）能控性Step2:计算矩阵A特征多项式det(sI-A)=(s)=sn+n-1sn-1+···+1s+0Step3:计算由期望闭环特征值**1,,n决定的期望特征多项式*0*11*1*1*)()(sssssnnniniStep4:计算1*11*10*0,,,nnkxPkxkkx1uQkk11,,,1111nnnbAbbAPStep5：计算能控规范性变换矩阵Step6：计算Q=P-1Step7：计算QkkStep8：停止计算注释:对于一个给定的系统，矩阵K不是唯一的，而是依赖于选择期望闭环极点的位置（这决定了响应速度与阻尼），这一点很重要。注意，所期望的闭环极点或所期望状态方程的选择是在误差向量的快速性和干扰以及测量噪声的灵敏性之间的一种折衷。也就是说，如果加快误差响应速度，则干扰和测量噪声的影响通常也随之增大。如果系统是2阶的，那么系统的动态特性（响应特性）正好与系统期望的闭环极点和零点的位置联系起来。对于更高阶的系统，所期望的闭环极点位置不能和系统的动态特性（响应特性）联系起来。因此，在决定给定系统的状态反馈增益矩阵K时，最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵（基于几种不同的所期望的特征方程）下的响应特性，并且选出使系统总体性能最好的矩阵K。例1连续时间线性时不变状态方程为uxx0011210061000期望闭环极点为jj112*3*2*1计算状态反馈阵K解：容易判断系统能控sssssAsI72181210061000)det(23计算由期望闭环极点组决定的特征多项式464)1)(1)(2()()(2331**sssjsjssssii0=0，1=72，2=180*=4，1*=6，2*=4]14,66,4[],,[2*21*10*0k001011211872118720118001001016100111],,[2122bAbbAP计算14418112101001PQ1220186,14144181121010014,66,4Qkk如果是低阶系统（n≤3），则将线性反馈增益矩阵K直接代入期望的特征多项式，可能更为简便。12100610011210061000210210kkkkkkBKA＝由期望闭环极点组决定的特征多项式464)1)(1)(2()()(2331**sssjsjssssii210102031272)7218()18(kkkskksksBKAsI)(*sBKAsI4127267218418210100kkkkkk＝1220186,14ki(A-BK)=i*,i=1,2,···,n6．4状态反馈极点配置：多输入情形多输入情形的极点配置在研究思路和计算方法都要复杂一些。系统的循环性定义：循环矩阵和循环系统当系统矩阵A的特征多项式(s)和最小多项式(s)之间只存在常数类型的的公因子k，即有(s)=k(s)，则A为循环矩阵，系统为循环系统。(1)循环系统的约当规范型当且仅当系统矩阵A的约当规范型中相应于每个不同特征值仅有一个约当块。(2)循环系统的特征值属性若系统矩阵A的特征值为两两互异，则系统为循环。(3)循环系统的能控属性对多输入n维连续时间线性时不变循环系统，至少存在一个n为列向量b，使向量组｛b，Ab，···，An-1b｝张满整个n维空间，即｛A，b｝为完全能控。结论：BuAxx(4)循环系统的能控属性对多输入n维连续时间线性时不变循环系统，｛A，B｝为完全能控，则对几乎所有的p×1实向量，使单输入矩阵对｛A，B｝为完全能控。(5)非循环系统的循环化对多输入n维连续时间线性时不变非循环系统，｛A，B｝为完全能控，则对几乎所有的p×n实常阵K，可使｛A－BK｝为循环。BuAxxBuAxx极点配置定理：对多输入n维连续时间线性时不变系统BuAxx系统可通过状态反馈任意配置全部n个极点的充分必要条件为{A,B}完全能控。极点配置算法：对于多输入n维连续时间线性时不变受控系统，可以采用多种算法确定极点配置状态反馈矩阵K。假定受控系统为完全能控。控制工程中几乎所有受控系统都为能控！极点配置算法1：（化多输入系统为单输入系统极点配置）给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统{A,B}和一组任意期望闭环特征值**1,,n要求确定一个p×n状态反馈矩阵K，使niBKAii,2,1,)(*step1.判断A的循环性，若非循环，选取一个p×n实常阵K1，使)(1BKAA为循环；若循环，表AAstep2:选取一个p×1实常向量，表b=B，使bA,为完全能控step3.对等价单输入系统，利用单输入情形极点配置算法，计算状态反馈向量k。bA,step4.对A为循环，K＝k；对A为非循环，K＝k＋K1注：由于K1和的不惟一性，状态反馈矩阵K不惟一和秩1性，通常希望K1和的选取使K的各个元尽可能小。step5.停止计算例1连续时间线性时不变状态方程为uxx10111001期望闭环极点为21*2*1，计算状态反馈阵K解：容易判断系统能控2)1(1001)det(sssAsI10101111ABBQc(1)判断A的循环性11001)1(10011001)(2ssssssAsI11－－(s)k(s)A不是循环矩阵任意选取一个p×n实常阵K111001K01121BKAA2)1()det(sAsI2)1(211)(sssAsI1－A是循环矩阵21(2)选取一个p×1实常向量，表b=B，使bA,为完全能控11151KkK21221212bAbQc