2019安徽中考数学专题训练——--圆的综合题

圆的综合题1.如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F，且CE＝CF.(1)求证：直线CA是⊙O的切线；(2)若BD＝43DC，求CFDF的值．第1题图（1）证明：∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE，∵∠AFD＝∠CFE，∴∠CEF＝∠AFD.∵BC是⊙O的直径，∴DC⊥AB，即∠ADC＝90°，∴∠DAF＋∠AFD＝90°.∵AE平分∠BAC，∴∠DAF＝∠EAC，∴∠EAC＋∠AEC＝90°，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∵OC是⊙O的半径，∴直线CA是⊙O的切线；(2)解：如解图，过点F作FG⊥AC于点G，第1题解图∵∠B＋∠BCD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B.∵AE平分∠BAC，∴FG＝DF，∵BD＝43DC，∴BC＝22CDBD＝53CD，∴在Rt△BCD中，sinB＝BCCD＝35，在Rt△CFG中，sin∠FCG＝FCFG＝sinB＝35，∴CFDF＝FCFG＝35.2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD.(1)求证：AD＝CD；(2)若AB＝10，cos∠ABC＝35，求tan∠DBC的值．第2题图（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°.又∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC，∴AD＝CD；（2）解：∵AB＝10，∴OA＝OD＝12AB＝5，∵OD∥BC，∴∠AOE＝∠ABC.在Rt△AEO中，OE＝OA·cos∠AOE＝OA·cos∠ABC＝5×35＝3，∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.由勾股定理得，AE＝22OEAO＝52－32＝4，在Rt△AED中，tan∠DAE＝AEDE＝24＝12.又∵∠DBC＝∠DAE，∴tan∠DBC＝12.3.如图，点A，B，C在⊙O上，连接PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°.(1)求∠P的度数；(2)若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．第3题图解：(1)如解图，连接OA，OB，第3题解图∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＋∠P＝180°，∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，∴∠P＝60°；(2)如解图，连接OP，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴∠APO＝12∠APB＝30°.在Rt△APO中，tan30°＝APOA，则AP＝30tanOA，∵OA＝4cm，∴AP＝43cm.∴阴影部分的面积为2×(12×4×43－3604602π)＝(163－163π)cm2.4.如图所示,AB为⊙0的直径,PD切⊙0于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)若PB=6,DB=8,求⊙O的半径.第4题图（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠E=90°，∴∠DOE+∠EDO=90°，∵∠EDB+∠EPB,∠DOE=∠POB，∴∠EPB+∠POB=90°，∴∠OBP=90°，∴OB⊥PB，∵OB为⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为x，则OD=8-x，由（1）得∠PBD=90°，∴在Rt△PBD中，PD=22BDPB=10，∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥PD，∴S△POD=21PD×OC=21OD×PB，即10x=6（8-x），解得x=3，∴⊙O的半径为3.5.如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B为切点，AC为直径，连接BC，PO．(1)求证：BC∥PO；(2)若AP＝8，BC＝7.2，求PO的长．第5题图(1)证明：如解图，连接AB交OP于点M，连接BO，第5题解图∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵OA＝OB，∴PO垂直平分AB，∴∠AMO＝90°，∵AC是⊙O的直径，∴∠CBA＝90°，∴∠CBA＝∠AMO，∴BC∥OP；(2)解：由(1)知PO垂直平分AB，∴AB⊥OP，AM＝BM，∵OA＝OC，∴OM为△ABC的中位线，∴OM＝12BC＝3.6，∵∠PAO＝∠PMA＝90°，∠APO＝∠MPA，∴△PAO∽△PMA，∴PAPOPMPA，即6.38PO＝8PO，解得PO＝10.6.如图,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦.过点B作BC//AD,交⊙O于点C,连接AC,过点C作CD//AB,交AD于点D.连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.（1）判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;（2）若AB=9,BC=6.求PC的长.第6题图解：（1）直线PC与⊙O相切，理由如下：如解图，连接CO并延长交⊙O于点E，连接EB，第6题解图∵CE是⊙O的直径，∴∠EBC=90°，∴∠E+∠BCO=90°，∵CD∥AB，∴∠ACD=∠BAC，∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，∴∠E=∠BCP，∴∠BCP+∠BCO=90°，即∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=21BC=3，AC=AB=9，在Rt△AMC中，由勾股定理得22CMACAM=62,设OC=r，则OM=62-r，在Rt△OMC中，由勾股定理得222OCCMOM，即222326rr，解得8227r，即8227OC，∴OM=62-8227=8221，∵OC⊥PC，∴∠MCP+∠MCO=90°，又∵AM⊥BC，∴∠MOC+∠MCO=90°，∴∠MOC=∠MCP，∵∠OMC=∠CMP，∴△OMC∽△CMP，∴CMOMPCOC，即382218227PC，解得727PC，∴PC的长为727.7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=21∠CAB.（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=25，求cos∠CBF.第7题图（1）证明：如解图，连接AE，第7题解图∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC，∴∠BAE=21∠CAB，又∵∠CBF=21∠CAB，∴∠BAE=∠CBF，∴∠EAB+∠ABE=90°，∴∠CBF+∠ABC=90°，即∠ABF=90°，∴AB⊥BF，又∵AB为⊙O的直径，∴直线BF为⊙O的切线；（2）由（1）得∠BAE=∠CBF，∠AEB=90°，∴cos∠CBF=cos∠BAE=ABAE，在Rt△ABE中，AB=5，BE=5，∴AE=22BEAB=25，∴cos∠CBF=552.8.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接BD，若∠C＝30°，求∠DBP的大小．第8题图(1)证明：如解图，连接OB.第8题解图∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.∵OA＝OB，∴PO平分∠APC；(2)解：∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°.∵PO平分∠APC，∴∠OPC＝12∠APC＝12×60°＝30°，∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°，又∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠DBP＝90°－∠OBD＝90°－60°＝30°.9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.(1)若∠BCD＝36°，BC＝10，求BD︵的长；(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE2＝AB·EF.第9题图（1）解：如解图，连接OD，第9题解图∵∠BCD＝36°，∴∠BOD＝2∠BCD＝2×36°＝72°，∵BC是⊙O的直径，BC＝10，∴OB＝5，∴lBD︵＝180572π＝2π；(2)解：DE是⊙O的切线；理由如下：∵BC是⊙O的直径，∴∠ADC＝180°－∠BDC＝90°，又∵点E是线段AC中点，∴DE＝12AC＝EC，在△DOE与△COE中，CEDEOEOEOCOD，∴△DOE≌△COE(SSS)．∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(3)证明：由(2)知，△DOE≌△COE，∴OE是线段CD的垂直平分线，∴点F是线段CD中点，∵点E是线段AC中点，则EF＝12AD，∵∠BAC＝∠CAD，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，则ACADABAC，即AC2＝AB·AD，而AC＝2CE，AD＝2EF，∴(2CE)2＝AB·2EF，即4CE2＝AB·2EF，∴2CE2＝AB·EF.10.如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD＝BC，AC与BD交于点E.(1)求证：DC2＝CE·AC；(2)若AE＝2EC，求AOAD的值；(3)在(2)的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S△ACH＝93，求EC的长．第10题图(1)证明：∵CD＝BC，∴CD︵＝BC︵，∴∠BDC＝∠DAC，∵∠DCE＝∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴CDCECACD，∴DC2＝CE·AC；(2)解：如解图，连接OE，设CE＝x，第10题解图∵AE＝2CE，∴AE＝2x，∴AC＝AE＋CE＝3x，由(1)知，CD2＝x·3x＝3x2，∴CD＝3x，∵CD＝BC，∴BC＝3x.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝22BCAC＝23x，∴OA＝OB＝12AB＝3x，∴OB＝OC＝BC，∴△BOC是等边三角形，∵CD︵＝BC︵，∴OC⊥BE，∴OE＝12OB＝32x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠OEB，∴OE∥AD，∵OA＝OB，∴AD＝2OE＝3x，∴OAAD＝xx33＝1；(3)解：由(2)知，△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵CH是⊙O的切线，∴∠OCH＝90°，∴∠CHO＝30°，∴OH＝2OC，∵OH＝OB＋BH＝OC＋BH，∴OB＝BH，∴OA＝OB＝BH，∴S△ACH＝3S△BOC＝93，∴S△BOC＝33，∵S△BOC＝34OB2＝34×(3x)2＝33，解得x＝－2(舍去)或x＝2，∴EC的长为2.11.如图①，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线;(2)若AB＝10，AC＝6，求BD的长；(3)如图②，若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG＝194，tan∠BAD＝34，求⊙O的半径．图①图②第11题图（1）证明：如解图①，连接OD，第11题解图①∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∴∠ODE＋∠AED＝180°，∵∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如解图①，连接BC，交OD于点N，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵OD∥AE，O是AB的中点，∴ON∥AC，且ON＝12AC，∴∠ONB＝90°，且ON＝3，OB=5，则BN＝4，ND＝2，∴BD＝42＋22＝25；（3）解：如解图②，设FG与AD交于点H，过点G作GM⊥HD，交HD于点M，H第11题解图②根据题意，设AB＝5x，AD＝4x，则AF＝54x，FH＝AF·tan∠BAD＝54x·34＝1516x，AH＝BADAFcos＝5445x＝2516x，HD＝AD－AH＝4x－2516x＝3916x，由（1）可知，∠HDG＋∠ODA＝90°，在Rt△HFA中，∠FAH＋∠FHA＝90°，∵∠OAD＝∠ODA，∠FHA＝∠DHG，∴∠DHG＝∠HDG，∴GH