2009年浙江省高考数学试卷(理科)及解析

第1页（共20页）2009年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁UB=（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}2．（5分）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1﹣iD．1+i4．（5分）在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣10B．10C．﹣5D．55．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4B．5C．6D．77．（5分）设向量，满足：||=3，||=4，•=0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A．3B．4C．5D．6第2页（共20页）8．（5分）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．9．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若=，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）对于正实数a，记Ma为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1）．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）•g（x）∈MB．若f（x）∈M，g（x）∈M，且g（x）≠0，则∈MC．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）+g（x）∈MD．若f（x）∈M，g（x）∈M，且a1＞a2，则f（x）﹣g（x）∈M二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）设等比数列{an}的公比，前n项和为Sn，则=．12．（4分）若某个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是cm3．第3页（共20页）13．（4分）若实数x，y满足不等式组，则2x+3y的最小值是．14．（4分）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如图：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）15．（4分）观察下列等式：观察下列等式：C+C=23﹣2，C+C+C=27+23，C+C+C+C=211﹣25，C+C+C+C+C=215+27，第4页（共20页）…由以上等式推测到一个一般结论：对于n∈N*，C+C+C+…+C=．16．（4分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是．17．（4分）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=，•=3．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．19．（14分）在1，2，3…，9，这9个自然数中，任取3个数．（Ⅰ）求这3个数中，恰有一个是偶数的概率；（Ⅱ）记ξ为这三个数中两数相邻的组数，（例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．第5页（共20页）20．（14分）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．（Ⅰ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；（Ⅱ）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．21．（15分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设点P在抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N．当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．第6页（共20页）22．（15分）已知函数f（x）=x3﹣（k2﹣k+1）x2+5x﹣2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R．（Ⅰ）设函数p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在区间（0，3）上不单调，求k的取值范围；（Ⅱ）设函数是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．第7页（共20页）2009年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【分析】欲求两个集合的交集，先得求集合CUB，再求它与A的交集即可．【解答】解：对于CUB={x|x≤1}，因此A∩CUB={x|0＜x≤1}，故选B．【点评】这是一个集合的常见题，属于基础题之列．2．（5分）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有【分析】由“a＞0且b＞0”⇒“a+b＞0且ab＞0”，“a+b＞0且ab＞0”⇒“a＞0且b＞0”，知“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件．【解答】解：∵a，b是实数，∴“a＞0且b＞0”⇒“a+b＞0且ab＞0”，“a+b＞0且ab＞0”⇒“a＞0且b＞0”，∴“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件．故选C．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3．（5分）【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有【分析】把复数z代入表达式化简整理即可．【解答】解：对于，故选D．【点评】本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直第8页（共20页）接考查了对于复数概念和性质的理解程度．4．（5分）【考点】二项式定理．菁优网版权所有【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得．【解答】解：对于，对于10﹣3r=4，∴r=2，则x4的项的系数是C52（﹣1）2=10故选项为B【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．5．（5分）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，tan∠ADE=，∴∠ADE=60°．故选C第9页（共20页）【点评】求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造﹣﹣作出或找到斜线与射影所成的角；②设定﹣﹣论证所作或找到的角为所求的角；③计算﹣﹣常用解三角形的方法求角；④结论﹣﹣点明斜线和平面所成的角的值．6．（5分）【考点】程序框图．菁优网版权所有【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足S=≥100的最小项数【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环SK循环前/00第一圈是11第二圈是32第三圈是113第四圈是20594第五圈否∴最终输出结果k=4故答案为A【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．（5分）【考点】直线与圆相交的性质；向量的模；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有【分析】先根据题设条件判断三角形为直角三角形，根据三边长求得内切圆的半径，进而看半径为1的圆内切于三角形时有三个公共点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，进而可得出答案．【解答】解：∵向量a•b=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，第10页（共20页）进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选B【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．8．（5分）【考点】正弦函数的图象．菁优网版权所有【分析】函数f（x）=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象．【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D符合要求，它的振幅大于1，但周期小于2π．对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象的对应关系，故选D．【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键．9．（5分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．菁优网版权所有【分析】分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据=求得a和b的关系，进而根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵=，第11页（共20页）∴=，b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故选C．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．10．（5分）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】5L：简易逻辑．【分析】Ma为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1）．即满足﹣a＜＜a．据此即可判断出正确答案为C．【解答】解：对于﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1），即有﹣a＜＜a，令k=，有﹣a＜k＜a，不妨设f（x）∈Ma1，g（x））∈Ma2，即有﹣a1＜kf＜a1，﹣a2＜kg＜a2，因此有﹣a1﹣a2＜kf+kg＜a1+a2，因此有f（x）+g（x）∈Ma1+a2．故选：C．【点评】本题考查了斜率计算公式、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）【考点】等比数列的性质．菁优网版权所有【分析】先通过等比数列的求和公式，表示出S4，得知a4=a1q3，进而把a1和q代入约分化简