南京大学2008-2010年微积分2(第一层次)期末试卷

1南京大学《大学数学》（第一层次）第二学期期末考试试卷2008.6.20一.（10分）求椭球面上某点处的切平面的方程，使平面过已知2222321xyz++=ππ直线.6321:212xyzL−−−==−二.（10分）求曲面上到原点最近的点.21zxy−=三.（8分）计算三重积分，其中是球体.222xyzdxdydzΩ++∫∫∫Ω222xyzz++≤四.计算曲线积分（2×8分=16分）.1.，其中的参数方程是：.222zdlxyΓ+∫Γ3cos,3sin,3(02)xtytzttπ===≤≤2.,其中为由点沿到点(e+)(ecos7)xxsiny8ydxyxdyΓ+−∫Γ(2,0)A22(4)4xy−+=的一段.(6,0)B五.计算曲面积分（2×10分=20分）.1.求，其中为.222()xyzdSΣ++∫∫Σ2222(12)xyzzz++=≤≤2.设为上半球面的上侧，计算Σ224zxy=−−3326zxdydzzydzdxzdxdyΣ++∫∫.六.（8分）判别级数的敛散性（包括条件收敛或绝对收敛）.11(1)sinnnnn+∞=−+∑七.（8分）判别广义积分的敛散性.11sin2xdxx+∞+∫八.（10分）将在处展开为幂级数.并证明.1xdedxx⎛⎞−⎜⎟⎝⎠00x=11(1)!nnn∞==+∑九.（10分）设求以为周期的傅氏级数与和函数.,0,2(),0,2xxfxxxππππ⎧+−≤≤⎪⎪=⎨⎪−≤≤⎪⎩()fx2π2南京大学《大学数学》（第一层次）第二学期期末考试试卷2009.6一、计算下列各题（5分×10=50分）1.已知，求.2sin()xyzxyye=+22,,zzzxyy∂∂∂∂∂∂2.计算，其中D是由抛物线及直线所围成的区域.Dxydxdy∫∫2yx=2yx=−3.计算，22()Cxyds+∫其中C为曲线.(cossin),(sincos),(02)xatttyattttπ=+=−≤≤4.求级数的和.11(1)(2)nnnn∞=++∑5.求函数在处的幂级数展开式，并指出其收敛范围.2()ln(12)fxxx=+−0x=6.已知，求在点的梯度.2222332uxyzxy=+++−u(1,1,2)M()graduM7.计算广义积分.20xIedx+∞−=∫8.求与两直线，及都平行且过原点的平面方程.112xytzt=⎧⎪=−+⎨⎪=+⎩121121xyz++−==9.计算曲面积分，其中Σ为曲面.222()xyzdSΣ++∫∫2222xyza++=10.求幂级数的和函数.12111(1)21nnnxn∞−−=−−∑()Sx二、计算三重积分，其中V是椭球体.（10分）2Vzdxdydz∫∫∫2222221xyzabc++≤三、设1.证明级数收敛；121211,,(1,2,),nnnnxxdxnnx+−===∫⋯11(1)nnnx∞+=−∑2.设，证明（10分）11111(1),1ln23nnnnxAynn∞+=−==++++−∑⋯lim.nnyA→∞=四、已知曲面Σ的方程为，设为曲面Σ上的一点.2xyz++=0000(,,)Pxyz1.求曲面Σ在点的切平面方程；0000(,,)Pxyz2.求该切平面在各个坐标轴上的截距之和.（10分）3五、已知是周期为2的周期函数，并且，()fx()2||,(11)fxxx=+−≤≤1.求的傅里叶级数；2.求级数的和；3.求级数的和（10分）.()fx20121nn∞=+∑（）211nn∞=∑六、判断曲线积分是否与路径无关？当C为曲线2222Cxyxydxdyxyxy−++++∫，并且沿增加的方向时，计算该曲线积分.（10分）2cos,sin(02)xtyttπ==≤≤t南京大学《大学数学》（第一层次）第二学期期末考试试卷2010.6一、计算下列各题（本题满分8×5=40分）1.求级数的和.11(54)(51)nnn∞=−+∑2.计算二重积分，其中为椭圆.2222D1-xydxdyab−∫∫0,0,abD2222+1xyab≤3.求函数在点沿方向的方向导数.(,,)fxyzxyyzzx=++(1,1,1)(1,3,1)l=�4.判别的敛散性，若收敛，计算其值.2+24011xdxxx∞+−+∫5.求微分方程的通解.2yyx′′+=6.求微分方程的通解.()()0xydxxydy−++=7.计算曲面积分，其中为上半曲面：.2SxdS∫∫S22221,1zxyxy=−−+≤8.计算曲线积分，其中为包含单位圆在内的分段光滑简单闭22lxdyydxxy−+∫l22=1xy+曲线，积分按逆时针方向进行.二、（本题满分12分）求函数在处的幂级数展开式，并指出其2()ln(1)fxxx=++0x=收敛范围.三、（本题满分12分）讨论级数的敛散性（绝对收敛，条件收敛或发散）.这里1cospnnnθ∞=∑是一常数，.20)πθθ（0p四、（本题满分12分）设函数连续可微，.并且对任何实数都满足关()fx(0)1f′=,xy4系式.证明是微分方程的解，并求之.()()()1()()fxfyfxyfxfy++=−()fx21,(0)0yyy′=+=五、（本题满分14分）1.求函数在上的傅立叶展开式，22(),()fxxxπππ=−−≤≤[,]ππ−2.求级数的和.3.求级数的和.1211(1)nnn∞−=−∑211(2)nn∞=∑六、（本题满分12分）设，12111,,(2,3,)nnnaaaaan+−===+=⋯1.求幂级数的收敛半径.2.求幂级数的和函数.1nnnax∞=∑1nnnax∞=∑