三角函数图像和性质教案

一、授课目的与考点分析：授课目的：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。考点分析：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用二、授课内容一、正弦余弦函数图像复习引入：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有MPrysin，OMrxcos向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．讲授新课：1、正弦函数图象的几何作法采用弧度制，x、y均为实数，步骤如下：（1）在x轴上任取一点O1，以Ol为圆心作单位圆；（2）从这个圆与x轴交点A起把圆分成12等份；（3）过圆上各点作x轴的垂线，可得对应于0、6、3、、2的正弦线；（4）相应的再把x轴上从原点O开始，把这0～2这段分成12等份；（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与x轴上对应的点重合；（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。2、五点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，ysinx,x[0,2]的图象上有五点起决定作用，它们是描出这五点后，其图象的形状21世纪教育网基本上就确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好。（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。3、正弦曲线下面是正弦函数ysinx,xR的图象的一部分：-11yx-6-565-4-3-2-0432fx=sinx4、余弦曲线利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，-11yx-6-565-4-3-2-0432fx=cosx例1.作下列函数的简图(1)y=sinx，x∈[0，2π](2)y=cosx，x∈[0，2π]二，正弦余弦函数性质1奇偶性(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。由于cos(－x)=cosx∴f(-x)=f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。(2)正弦函数的图形也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)222.单调性从y＝sinx，x∈［－23,2］的图象上可看出：当x∈［－2，2］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.当x∈［2，23］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.正弦函数在每一个闭区间［－2＋2kπ，2＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2＋2kπ，23＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.3.有关对称轴y=sinx的对称轴为x=2kk∈Zy=cosx的对称轴为x=kk∈Z4周期性观察正弦余弦图像，可得，正弦余弦的周期均为2π练习1。（1）写出函数xy2sin3的对称轴；（2）)4sin(xy的一条对称轴是（C）(A)x轴，(B)y轴，(C)直线4x，(D)直线4x