《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析.()2.有界整函数必在整个复平面为常数.()3.若}{nz收敛，则}{Renz与}{Imnz都收敛.()4.若f(z)在区域D内解析，且0)('zf，则Czf)(（常数）.()5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若z0是)(zf的m阶零点，则z0是1/)(zf的m阶极点.()7.若)(lim0zfzz存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.()8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则)(0)('Dzzf.()9.若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C0)(Cdzzf.()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、1||00)(zznzzdz__________.（n为自然数）2.zz22cossin_________.3.函数zsin的周期为___________.4.设11)(2zzf，则)(zf的孤立奇点有__________.5.幂级数0nnnz的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若nnzlim，则nzzznn...lim21______________.8.)0,(Renzzes________，其中n为自然数.9.zzsin的孤立奇点为________.10.若0z是)(zf的极点，则___)(lim0zfzz.三.计算题（40分）：1.设)2)(1(1)(zzzf，求)(zf在}1||0:{zzD内的罗朗展式.2..cos11||zdzz3.设Cdzzf173)(2，其中}3|:|{zzC，试求).1('if4.求复数11zzw的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数)(zf在区域D内解析.证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数.2.试证:()(1)fzzz在割去线段0Re1z的z平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re1z上岸取正值的那支在1z的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．×2．√３．√４．√５．√6．√７．×８．×９．×10．×二．填空题1.2101inn；2.1；3.2k，()kz；4.zi；5.16.整函数；7.；8.1(1)!n；9.0；10..三．计算题.1.解因为01,z所以01z111()(1)(2)12(1)2fzzzzz001()22nnnnzz.2.解因为22212Re()limlim1cossinzzzzsfzzz,22212Re()limlim1cossinzzzzsfzzz.所以22212(Re()Re()0coszzzdzisfzsfzz.3.解令2()371,则它在z平面解析,由柯西公式有在3z内,()()2()cfzdzizz.所以1(1)2()2(136)2(613)zifiiziii.4.解令zabi,则222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)zabiabwzzababab.故2212(1)Re()11(1)zazab,2212Im()1(1)zbzab.四.证明题.1.证明设在D内()fzC.令2222(),()fzuivfzuvc则.两边分别对,xy求偏导数,得0(1)0(2)xxyyuuvvuuvv因为函数在D内解析,所以,xyyxuvuv.代入(2)则上述方程组变为00xxxxuuvvvuuv.消去xu得,22()0xuvv.1)若220uv,则()0fz为常数.2)若0xv,由方程(1)(2)及..CR方程有0,xu0yu,0yv.所以12,ucvc.(12,cc为常数).所以12()fzcic为常数.2.证明()(1)fzzz的支点为0,1z.于是割去线段0Re1z的z平面内变点就不可能单绕0或1转一周,故能分出两个单值解析分支.由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z时,只有z的幅角增加.所以()(1)fzzz的幅角共增加2.由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分支在上岸之幅角为0,因而此分支在1z的幅角为2,故2(1)22ifei.《复变函数》考试试题（二）一.判断题.（20分）1.若函数),(),()(yxivyxuzf在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.()2.cosz与sinz在复平面内有界.()3.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续.()4.有界整函数必为常数.()5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则)(lim0zfzz一定不存在.()6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.()7.若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C0)(Cdzzf.()8.若数列}{nz收敛，则}{Renz与}{Imnz都收敛.()9.若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析.()10.存在一个在零点解析的函数f(z)使0)11(nf且,...2,1,21)21(nnnf.()二.填空题.(20分)1.设iz，则____,arg__,||zzz2.设Ciyxzyxixyxzf),sin(1()2()(222，则)(lim1zfiz________.3.1||00)(zznzzdz_________.（n为自然数）4.幂级数0nnnz的收敛半径为__________.5.若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是)('zf的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程083235zzz在单位圆内的零点个数为________.8.设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有_________.9.函数||)(zzf的不解析点之集为________.10.____)1,1(Res4zz.三.计算题.(40分)1.求函数)2sin(3z的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz处的值.3.计算积分：iizzId||，积分路径为（1）单位圆（1||z）的右半圆.4.求dzzzz22)2(sin.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是)(zf在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题.1．√２．×３．√４．√５．×6．×７．×８．√９．×10．×.二.填空题1.1，2，i；2.3(1sin2)i；3.2101inn；4.1；5.1m.6.2ki，()kz.7.0；8.i；9.R；10.0.三.计算题1.解3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!nnnnnnnzzznn.2.解令izre.则22(),(0,1)kifzzrek.又因为在正实轴去正实值，所以0k.所以4()ifie.3.单位圆的右半圆周为ize,22.所以22222iiiizdzdeei.4.解dzzzz22)2(sin2)(sin2zzi2cos2zzi=0.四.证明题.1.证明(必要性)令12()fzcic,则12()fzcic.(12,cc为实常数).令12(,),(,)uxycvxyc.则0xyyxuvuv.即,uv满足..CR,且,,,xyyxuvuv连续,故()fz在D内解析.(充分性)令()fzuiv,则()fzuiv,因为()fz与()fz在D内解析,所以,xyyxuvuv,且(),()xyyyxxuvvuvv.比较等式两边得0xyyxuvuv.从而在D内,uv均为常数,故()fz在D内为常数.2.即要证“任一n次方程101100(0)nnnnazazazaa有且只有n个根”.证明令1011()0nnnnfzazazaza,取10max,1naaRa,当z在:CzR上时,有111110()()nnnnnnzaRaRaaaRaR.()fz.由儒歇定理知在圆zR内,方程10110nnnnazazaza与00naz有相同个数的根.而00naz在zR内有一个n重根0z.因此n次方程在zR内有n个根.《复变函数》考试试题（三）一.判断题.(20分).1.cosz与sinz的周期均为k2.()2.若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,则f(z)在z0解析.()3.若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续.()4.若数列}{nz收敛，则}{Renz与}{Imnz都收敛.()5.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数.()6.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.()7.如果函数f(z)在}1|:|{zzD上解析,且)1|(|1|)(|zzf,则)1|(|1|)(|zzf.（）8.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()9.若z0是)(zf的m阶零点,则z0是1/)(zf的m阶极点.()10.若0z是)(zf的可去奇点，则0)),((Res0zzf.()二.填空题.(20分)1.设11)(2zzf，则f(z)的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.3.若nnninnz)11(12，则nznlim__________.4.zz22cossin___________.5.1||00)(zznzzdz_________.（n为自然数）6.幂级数0nnnx的收敛半径为__________.7.设11)(2zzf，则f(z)的孤立奇点有__________.8.设1ze，则___z.9.若0z是)(zf的极点，则___)(lim0zfzz.10.____)0,(Resnzze.三.计算题.(40分)1.将函数12()zfzze在圆环域0z内展为Laurent级数.2.试求幂级数nnnznn!的收敛半径.3.算下列积分：Czzzze)9(d22，其中C是1||z.4.求0282269zzzz在|z|1内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数)(zf在区域D内解析.证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数.2.设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当Rz||时nzMzf|||)(|，证明)(zf是一个至多n次的多项式或一常数。《复变函数》考试试题（三）参考答案一.判断题1．×２．×３．√４．√５．√6．√７．√８．√９．√10．√.二.填空题.1.,zzizC且;2.2()kikz;3.1ei;4.1;5.2101inn