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第八节函数与方程及函数的应用基础知识梳理1.函数的零点(1)对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的.即:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x).横坐标零点基础知识梳理(3)求函数y=f(x)的零点①(代数法)求方程f(x)=0的实数根.②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.(4)零点存在性定理函数在区间[a,b]上的图象是连续的,且f(a)f(b)<0,那么函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点.基础知识梳理一个图象连续的函数在区间[a,b]上,若f(a)f(b)0,在什么情况下,f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点?【思考·提示】零点存在性定理只需再满足“函数在区间[a,b]上是单调的”这一条件,就可使f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点.基础知识梳理2.用二分法求方程的近似解对于在区间[a,b]上连续不断,且满足f(a)·f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做.二分法基础知识梳理给定精确度ε,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下:①确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.②求区间(a,b)的中点x1.③计算f(x1).a.若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;基础知识梳理b.若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1,此时零点x0∈(a,x1);c.若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1,此时零点x0∈(x1,b);④判断是否达到精度ε.即若|a-b|<ε,则得到零点的零点值a(或b);否则重复步骤②~④.基础知识梳理3.函数模型(1)常用的函数模型①一次函数模型:.②二次函数模型:.③指数函数模型:.④对数函数模型:.⑤幂函数模型:.y=kx+b(k≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)y=a·bx+cy=m·logax+ny=axn+b基础知识梳理(2)解答函数应用题的步骤①阅读理解:读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学本质,弄清题中所出现的量和数学含义.②分析建模:分析题目中的量与量之间的关系,根据题意恰当地引入字母(包括常量与变量).有时可借助列表、画图等手段来理顺数量关系,基础知识梳理同时要注意由已知条件联想熟知的函数模型,以确定函数模型的种类,在对已知条件和目标变量的综合分析、归纳抽象的基础上,建立目标函数,将实际问题转化为数学问题.基础知识梳理③数学求解:利用相关的函数知识,进行合理设计,以确定最佳解题方案,进行数学上的求解计算.④还原总结:把计算获得的结果还原到实际问题中去解释实际问题,即对实际问题进行总结作答.三基能力强化1.(2010年山东日照模拟)函数f(x)=的零点一定位于区间__________.①(1,2)②(2,3)③(3,4)④(4,5)答案:①ln3x2-2x三基能力强化2.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控,除了应征税外还要征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100元国家要征附加税为x元(税率x%),则每年销售量减少10x万瓶,为了要使每年在此项经营中收取的附加税额不少于112万元,则x的最小值为________.答案:2三基能力强化3.若f(x)=,g(x)=x2-x(x∈R),则方程f[g(x)]=x的解为__________.x-1,x≥21,x2答案:1,2+1三基能力强化4.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是______万元.答案:2500120三基能力强化5.(2010年山东省临沂高三质检)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为________.f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=-0.054三基能力强化解析:由已知数据得:f(1.4375)·f(1.40625)0,且1.4375与1.40625精确到0.1均为1.4,故函数的一个零点为1.4,即方程的一个近似根为1.4.答案:1.4课堂互动讲练判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体问题灵活处理,当能直接求出零点时,就直接求出进行判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理;当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断.函数零点的存在性与求法考点一课堂互动讲练本类问题以考查零点存在性定理为主,尤其考查在某一区间上有且仅有一个零点的情况.课堂互动讲练例1(2009年高考福建卷改编)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是__________.①f(x)=4x-1②f(x)=(x-1)2③f(x)=ex-1④f(x)=ln(x-)12课堂互动讲练【思路点拨】观察每个函数的零点,利用二分法判断函数g(x)零点所在的一个区间,然后比较.【解析】四个函数中的零点是确定的,①零点x=14,②零点x=1,③零点x=0,④零点x=32.课堂互动讲练【答案】①又∵g(0)=40+2×0-2=-10,g(12)=412+2×12-2=10,∴g(x)=4x+2x-2的零点介于(0,12)之间.已知函数f(x)=4x-1适合题意.课堂互动讲练【点评】判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体题目灵活处理.当能直接求出零点时,就直接求出进行判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理;当用零点存在性定理也无法判断时,可画出图象判断.用二分法求零点时,应据题目选取合适的点进行判断,可不断尝试,直至找到恰当的点.课堂互动讲练1.(2010年江苏省南通市调研)设x0是方程8-x=lgx的解,且x0∈(k,k+1)(k∈Z),则k=__________.跟踪训练解析:设y=8-x,y=lgx,画出图象如图.课堂互动讲练设f(x)=8-x-lgx,f(7)=1-lg70,f(8)=-lg80,∴f(7)f(8)0,即在(7,8)上存在方程的解.答案:7跟踪训练课堂互动讲练函数零点问题常常看作不同的函数图象相交问题,多应用转化的思想把问题向不同的目标进行转化,利用根的分布、二分法、构造函数法、数形结合法等解决,此类问题有一定的难度,可在题型的训练上总结一定的规律.函数零点的综合问题考点二课堂互动讲练例2(2010年江苏江阴质检)已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;(2)问是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为12-t.课堂互动讲练【思路点拨】(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,用零点存在性定理;(2)分类讨论,求f(x)在x∈[t,10]的最值.f(1)≤0f(-1)≥0,即1-16+q+3≤01+16+q+3≥0,【解】(1)∵函数f(x)=x2-16x+q+3的对称轴是x=8,∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数.∵函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有:课堂互动讲练∴-20≤q≤12;(2)∵0≤t≤10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且对称轴是x=8.①当0≤t≤6时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小,∴f(t)-f(8)=12-t,即t2-15t+52=0,解得t=15±172,∴t=15-172;课堂互动讲练②当6t≤8时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小,∴f(10)-f(8)=12-t,解得t=8;③当8t≤10时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小,∴f(10)-f(t)=12-t,即t2-17t+72=0,解得t=8,9,∴t=9.综上可知,存在常数t=,8,9满足条件.15-172课堂互动讲练【点评】函数与方程虽然是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,然后通过方程进行研究.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决,函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点.课堂互动讲练2.在例2中若函数f(x)=x2-x+q+3,则(1)的结果如何?互动探究解:∵函数f(x)=x2-x+q+3的对称轴x=-∈[-1,1],∴函数f(x)在[-1,1]可能存在一个或两个零点.12课堂互动讲练当f(x)在[-1,1]上存在一个零点时如图.Δ=0或f(-1)0f(1)≤0,即1-4(q+3)=0或(-1)2+1+q+3012-1+q+3≤0,解得q=-114或-5q≤-3.课堂互动讲练当f(x)在[-1,1]上存在两个零点时,如图.只需Δ0,f(1)≥0即q≥-3.综上可知q-5.课堂互动讲练图表能反应出什么样的信息,怎样把握住这些信息间的关联是应用问题中一个亮点,既可考查对信息的阅读能力,又可考查对信息的处理能力,图表问题与生活联系较近,是命题考查的一个越来越突出的考点.图表信息应用题考点三课堂互动讲练例3某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/件):前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4天的单价记录如下表:时间(将第x天记为x)x1101118单价(元/件)P9018课堂互动讲练例3而这20天相应的销售量Q(百件/天)与x对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上.(1)写出每天销售y(元)与时间x(天)的函数关系式y=f(x);(2)在这20天中哪一天销售收入最高?为使每天销售收入最高,按此次测试结果应将单价P定为多少元为好?(结果精确到1元)课堂互动讲练【思路点拨】由题意可知前10天为一段,从第11天及其以后函数又发生了变化,所以应为分段函数,列出解析原式后,观察解析式的特点,选择求最值的办法.课堂互动讲练【解】(1)P=10-x,x∈[1,10],x-10,x∈[11,20],Q=100-(x-10)2,x∈[1,20],且x∈N*.∴y=PQ=(10-x)·-x2+20x,x∈[1,10],(x-10)·-x2+20x,x∈[11,20],x∈N*.课堂互动讲练此时,P=7(元/件).即第3天或第17天销售收入最高,此时应将单价P定为7元为好.(2)∵(x-10)2[100-(x-10)2]≤[(x-10)2+100-(x-10)22]2=2500,∴当且仅当(x-10)2=100-(x-10)2,即x=10±52时,y有最大值.∵x∈N*,∴取x=3或17时,ymax=70051≈4999(元),课堂互动讲练【点评】要理解题中条件的实际意义,对表或图要阅读出关键的信息,列解析式要寻找到函数对应关系.课堂互动讲练3.某民营企业生产A、B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图(1),B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2)(注:利润与投资单位:万元).跟踪训练课堂互动讲练(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得
本文标题:江苏南通四所名校2011届高三数学一轮复习课件:函数与方程及函数的应用
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