知识讲解-独立重复试验与二项分布(理)(提高)

第1页共12页独立重复试验与二项分布【学习目标】1．理解n次独立重复试验模型及二项分布．2．能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、n次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果A与A，并且事件A发生的概率相同。在相同的条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验。要点诠释：在n次独立重复试验中，一定要抓住四点：①每次试验在同样的条件下进行；②每次试验只有两种结果A与A，即某事件要么发生，要么不发生；③每次试验中，某事件发生的概率是相同的；④各次试验之间相互独立。总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。要点二、独立重复试验的概率公式1.定义如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：()(1)kknknnPkCpp（k=0，1，2，…，n）．令0k得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为．．．．．．．．00(0)(1)(1)nnnnPCppp令kn得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为．．．．．．．．0()(1)nnnnnPnCppp。要点诠释：1.在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n，p，k的意义，才能正确地运用公式．2.独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．要点三、n次独立重复试验常见实例：1.反复抛掷一枚均匀硬币2.已知产品率的抽样3.有放回的抽样第2页共12页4.射手射击目标命中率已知的若干次射击要点诠释：抽样问题中的独立重复试验模型：①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理；②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。要点四、离散型随机变量的二项分布1.定义：在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是p，则此事件不发生的概率为1qp，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是()()kknknnnPkPkCpq，（0,1,2,...,kn）．于是得到离散型随机变量的概率分布如下：ξ01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn由于表中第二行恰好是二项展开式011100)(qpCqpCqpCqpCpqnnnknkknnnnnn中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为n，p的二项分布，记作~(,)Bnp．要点诠释：判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是独立性。即每次试验的结果是相互独立的；其二是重复性。即试验独立重复地进行了n次；其三是试验的结果的独特性。即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。2．如何求有关的二项分布（1）分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值；（2）准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率；（3）用表格形式列出随机变量的分布列。【典型例题】类型一、独立重复试验的概率例1．某气象站天气预报的准确率为80％，计算（结果保留到小数点后第2位）：第3页共12页（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【思路点拨】5次预报相当于做了5次独立重复试验．利用独立重复试验公式即可．【解析】（1）5次预报中恰有2次准确的概率为22522355(2)0.8(10.8)100.80.20.05PC．（2）5次预报中至少有2次准确的概率为51(0)PP0050115155551(0)(1)10.8(10.8)0.8(10.8)10.000320.00640.99PPPCC．（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率为1412340.80.8(10.8)40.80.20.02C．【总结升华】解决此类问题，首先应明确是否是n次独立重复试验，其次要弄清公式中n和k的值以及p的值．举一反三：【变式1】甲每次投资获利的概率是p=0.8，对他进行的6次相互独立的投资，计算：（1）有5次获利的概率；（2）6次都获利的概率；（3）至少5次获利的概率．【答案】用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B（6，0.8），且556(5)0.8(10.8)0.39PXC，666(6)0.80.26PXC．（1）他5次获利的概率约等于0.39．（2）他6次都获利的概率约等于0.26．（3）{X≥5}表示他至少5次获利，且{X≥5}={X=5}∪{X=6}．由于事件{X=5}和{X=6}互斥，所以P（X≥5）=P（X=5）+P（X=6）≈0.39+0.26=0.65．故他至少5次获利的概率约等于0.65．【变式2】若1(6,)3XB，则(2)PX等于（）A．316B．4243C．13243D．80243【答案】D；22461180(2)()(1)33243PXC。【变式3】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？【解析】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次奎屯王新敞新疆第4页共12页∴从低层到顶层停不少于3次的概率3364455549999991111111()()()()()()()2222222PCCCC3459990129999999911()()2()()22CCCCCCC991233(246)()2256设从低层到顶层停k次，则其概率为k9999111C()()()222kkkC，∴当4k或5k时，9kC最大，即991()2kC最大，答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大．例2．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．（1）若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，则甲获胜的概率是多少？（2）若进行五局三胜制比赛，则甲获胜的概率是多少？【思路点拨】本题考查概率基础知识、独立重复试验等．（1）中应先分类，甲前两局胜，或一、三局胜，或二、三局胜．（2）中用同样的方法分类．【解析】（1）甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜。则212221220333327PC．（2）甲前三局胜，或甲第四局胜而前三局仅胜两局，或甲第五局胜而前四局仅胜两局，则32222234221221264333333381PCC．【总结升华】本题中，无论比赛几局，只要甲获胜，必须甲在最末一局胜，如比赛3局，甲以2：1获胜，须前两局中甲胜一局负一局，第三局甲胜．举一反三：【变式】已知乒乓球选手甲、乙进行比赛，而且他们在每一局中获胜的概率都是12，规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜。（1）试求甲分别打完四局、五局、六局、七局才获胜的概率；（2）设比赛局数为X，求离散型随机变量X的分布列。【答案】（1）根据比赛规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜，则：①记事件A1=“甲连胜四局”，所以甲打完四局就获胜的概率为：4111()216PA；②记事件A2=“在前四局比赛中甲胜三局且第五局也胜”，所以甲打完五局才获胜的概率为：第5页共12页33241111()()(1)2228PAC；③记事件A3=“在前五局比赛中甲胜三局且第六局也胜”，所以甲打完六局才获胜的概率为：332351115()()(1)22232PAC；④记事件A4=“前六局比赛中甲胜三局且第七局也胜”，所以甲打完七局才获胜的概率为：333461115()()(1)22232PAC。（2）由题意可知，比赛局数X的可能取值为4，5，6，7，并且每种情况比赛总有一人获胜，故离散型随机变量X的分布列为X4567P1814516516类型二、离散型随机变量的二项分布例3.一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分的概率分布列。【思路点拨】有放回地依次取3次，相当于三次独立重复试验，其得分服从二项分布，故可用n次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。【解析】（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则53)(352312CCCAP（Ⅱ）由题意，的可能取值为3．4．5．6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为.53,52取到黑球的概率为12527)53()3(333CP1255452)53()4(223CP12536)52()53()5(213CP1258)52()6(303CP的分布列为第6页共12页3456P1252712554125361258【总结升华】①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量服从二项分布，然后运用n次独立重复试验的概率公式计算。②注意n次独立重复试验中，离散型随机变量X服从二项分布，即(,)XBnp，这里n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率。举一反三：【变式1】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．【答案】依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，P(ξ=0)=02C(95%)2=0.9025，P(ξ=1)=12C(5%)(95%)=0.095，P(2)=22C(5%)2=0.0025．因此，次品数ξ的概率分布是ξ012P0.90250.0950.0025【变式2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31。（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．解：（1）B(5,31)，ξ的分布列为P(ξ=k)=5512()()33kkkC，k=0，1，2，3，4，5；（2）η的分布列为P(η=k)=p(前k个是绿灯，第k+1个是红灯)=21()33k，k=0，1，2，3，4；P(η=5)=P(5个均为绿灯)=52()3；（3）所求概率=P(ξ≥1)=1－P(ξ=0)=1－52211()3243≈0.8683.【变式3】一袋中有5个白球，3个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时总共取了X次球，求X的分布列及P（X=12）．【答案】由题意知，X是取球次数，X=10，11，12，…，且每次取得红球的概率是38，取得白球的概率是58，所以X=k（k=10，11，12…）表示取了k次球，且第k次取到的是红球，前（k－1）次取得9次红球．∴X的分布列为第7页共12页91()kPXkC91001353()