《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1抛物线的几何性质(一)

2.3.2(一)2.3.2抛物线的几何性质(一)【学习要求】1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)填一填·知识要点、记下疑难点1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)范围对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1焦点(p2,0)(－p2,0)(0,p2)(0,－p2)性质准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2填一填·知识要点、记下疑难点x≥0，y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程验证？研一研·问题探究、课堂更高效答案(1)范围：x≥0，y∈R；(2)对称性：抛物线y2＝2px(p0)关于x轴对称；(3)顶点：抛物线的顶点是坐标原点；(4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率，用e表示，由定义可知e＝1.本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)问题2通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？答案求抛物线的标准方程，主要利用待定系数法，要根据已知的几何性质先确定方程的形式，再求参数p.研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)例1若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.14，±24B.18，±24C.14，24D.18，24解析由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F14，0，所以P点的横坐标为18，代入抛物线方程得y＝±24，故点P的坐标为18，±24，故选B.研一研·问题探究、课堂更高效B本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)小结(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)跟踪训练1正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p0)上，求这个正三角形的边长．研一研·问题探究、课堂更高效解如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝2px1，y22＝2px2.又|OA|＝|OB|，所以x21＋y21＝x22＋y22，即x21－x22＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)∵x10，x20,2p0，∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．由此得∠AOx＝30°，所以y1＝33x1，与y21＝2px1联立，解得y1＝23p，∴|AB|＝2y1＝43p.研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)探究点二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)解(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3，又F32，0.所以直线l的方程为y＝3x－32.联立y2＝6x，y＝3x－32消去y得x2－5x＋94＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p.∴|AB|＝5＋3＝8.研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－32，所以M到准线的距离等于3＋32＝92.研一研·问题探究、课堂更高效小结(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)跟踪训练2已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程．研一研·问题探究、课堂更高效解∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零．故可设弦所在直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)．∴直线的方程为y＝k(x－1)．由y＝kx－1y2＝4x整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)．∴x1＋x2＝2k2＋4k2.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝2k2＋4k2＋2.又|AB|＝36，∴2k2＋4k2＋2＝36，∴k＝±24.∴所求直线方程为y＝24(x－1)或y＝－24(x－1)．研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)探究点三和抛物线有关的轨迹问题问题怎样判断一个动点的轨迹是抛物线？答案(1)如果动点满足抛物线的定义，则动点的轨迹是抛物线；研一研·问题探究、课堂更高效(2)如果动点的轨迹方程是抛物线的方程形式，则该动点的轨迹是抛物线．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)例3已知点A在平行于y轴的直线l上，且l与x轴的交点为(4,0)．动点P满足AP→平行于x轴，且OA→⊥OP→，求P点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．研一研·问题探究、课堂更高效解设动点P的坐标为(x，y)，则由已知得A点坐标为(4，y)，所以OA→＝(4，y)，OP→＝(x，y)．因为OA→⊥OP→，所以OA→·OP→＝0，因此4x＋y2＝0，即P的轨迹方程为4x＋y2＝0.轨迹的形状为抛物线．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)小结求解圆锥曲线的轨迹方程的方法：一是代数法：建立坐标系——设点——找限制条件——代入等量关系——化简整理，简称“建设限代化”；二是几何法：利用曲线的定义、待定系数．但要特别注意不要忽视题目中的隐含条件，防止重、漏解．研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)跟踪训练3已知抛物线y2＝2x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程．研一研·问题探究、课堂更高效解设弦AB的中点为M，并设A，B，M的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x，y)，由题意有y21＝2x1，①y22＝2x2，②x1＋x2＝2x，③y1＋y2＝2y，④①－②得y21－y22＝2(x1－x2)，∴y1－y2x1－x2＝1y.又y1－y2x1－x2＝y－1x－2(kAB＝kMQ)，∴y－1x－2＝1y，即y2－y＝x－2，∴y－122＝x－74.故弦AB的中点的轨迹方程为y－122＝x－74.本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处1．抛物线y＝mx2(m0)的焦点坐标是()A.0，m4B.0，14mC.0，－m4D.0，－14m解析抛物线的方程可化为x2＝1my(m0)，则抛物线的焦点在y轴的负半轴上，所以2p＝－1m.所以抛物线的焦点坐标是0，14m.B本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处2．已知AB是抛物线y2＝2px(p0)上的两点,O为原点，若|OA→|＝|OB→|，且抛物线的焦点恰为△AOB的垂心，则直线AB的方程是()A．x＝pB．x＝32pC．x＝52pD．x＝3pC解析∵|OA→|＝|OB→|，∴A、B关于x轴对称，设A(x0，2px0)，B(x0，－2px0)，∵AF⊥OB，Fp2，0，∴2px0x0－p2·－2px0x0＝－1，∴x0＝52p.本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处3．已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则AP→·BP→取得最小值时的点P的坐标是________．解析设P－y24，y，则AP→＝－y24－2，y，BP→＝－y24－4，y，AP→·BP→＝－y24－2－y24－4＋y2＝y416＋52y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．答案(0,0)本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.解析由y2＝4x，知p＝2，F(1,0)，由抛物线定义，xA＋p2＝|AF|，∴xA＝2－1＝1，因此AB⊥x轴，F为AB中点，从而|BF|＝|AF|＝2.答案2本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义．3．抛物线y2＝±2px(p0)的过焦点的弦长|AB|＝x1＋x2＋p，其中x1，x2分别是点A，B横坐标的绝对值；抛物线x2＝±2py(p0)的过焦点的弦长|AB|＝y1＋y2＋p，其中y1，y2分别是点A，B纵坐标的绝对值.本专题栏目开关填一填研一研练一练