2016高考数学专题复习导练测第三章导数及其应用阶段测试(精)

数学A（理）第三章导数及其应用45分钟阶段测试(四)23456789101234567891011.设曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于()A.2B.－2C.12D.－12一、选择题23456789101解析因为y＝x＋1x－1的导数为y′＝－2x－12，所以曲线在(3,2)处的切线斜率为k＝－12，又直线ax＋y＋3＝0的斜率为－a，所以－a·(－12)＝－1，解得a＝－2.答案B345678910122.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调减函数，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－3]∪[3，＋∞)B.[－3，3]C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－3，3)解析由题意，知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，所以Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－3≤a≤3.B24567891013A.0B.1C.2D.33.已知a≤1－xx＋lnx对任意x∈[12，2]恒成立，则a的最大值为()解析令f(x)＝1－xx＋lnx，则f′(x)＝x－1x2，当x∈[12，1)时，f′(x)0，当x∈(1,2]时，f′(x)0，24567891013∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.答案A∴f(x)在[12，1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，235678910144.设f(x)＝x2，x∈[0，1]，1x，x∈1，e]，(e为自然对数的底数)，则ʃe0f(x)dx等于()A.－43B.－23C.23D.4323567891014解析依题意得，ʃe0f(x)dx＝ʃ10x2dx＋ʃe11xdx＝13x3|10＋lnx|e1＝13＋1＝43.答案D234678910155.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)＝f(4－x)，且当x≠2时，其导函数f′(x)满足xf′(x)2f′(x)，若2a4，则()A.f(2a)f(3)f(log2a)B.f(3)f(log2a)f(2a)C.f(log2a)f(3)f(2a)D.f(log2a)f(2a)f(3)23467891015解析由f(x)＝f(4－x)，可知函数图象关于x＝2对称.由xf′(x)2f′(x)，得(x－2)f′(x)0，所以当2x4时，f′(x)0恒成立，函数f(x)单调递增.由2a4，得1log2a2,222a24，即42a16.因为f(log2a)＝f(4－log2a)，所以24－log2a3，即24－log2a32a，23467891015所以f(4－log2a)f(3)f(2a)，即f(log2a)f(3)f(2a).答案C23457891016二、填空题6.函数y＝x＋2cosx在区间[0，π2]上的最大值是______.解析y′＝1－2sinx，令y′＝0，又x∈[0，π2]，得x＝π6，则x∈[0，π6)时，y′0；x∈(π6，π2]时，y′0，故函数y＝x＋2cosx在[0，π6)上递增，在(π6，π2]上递减，所以当x＝π6时，函数取得最大值，为π6＋3.π6＋3234568910177.函数f(x)＝x3－3ax＋b(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________.解析令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±a.f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗－a－a(－a，a)aa23456891017从而－a3－3a－a＋b＝6，a3－3aa＋b＝2.解得a＝1，b＝4，所以f(x)的单调递减区间是(－1,1).答案(－1,1)234569101788.已知f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为________.解析由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0或x＝2.又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5，∴f(x)max＝3，又f(x)≤a，∴a≥3.[3，＋∞)三、解答题9.已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R).(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；12解因为f′(x)＝x－(x0)，ax又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，所以2－aln2＝2＋b，2－a2＝1，解得a＝2，b＝－2ln2.2345678101923456781019(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围.解若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，则f′(x)＝x－ax≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立.所以有a≤1.2345678911010.(2014·大纲全国)函数f(x)＝ln(x＋1)－(a1).(1)讨论f(x)的单调性；axx＋a解f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝x[x－a2－2a]x＋1x＋a2.①当1a2时，若x∈(－1，a2－2a)，则f′(x)0，f(x)在(－1，a2－2a)是增函数；若x∈(a2－2a,0)，则f′(x)0，f(x)在(a2－2a,0)是减函数；若x∈(0，＋∞)，则f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)是增函数.23456789110②当a＝2时，f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x＝0，f(x)在(－1，＋∞)是增函数.③当a2时，若x∈(－1,0)，则f′(x)0，f(x)在(－1,0)是增函数；若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)0，f(x)在(0，a2－2a)是减函数；若x∈(a2－2a，＋∞)，则f′(x)0，f(x)在(a2－2a，＋∞)是增函数.23456789110(2)设a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，证明：2n＋2an≤3n＋2.证明由(1)知，当a＝2时，f(x)在(－1，＋∞)是增函数.当x∈(0，＋∞)时，f(x)f(0)＝0，即ln(x＋1)2xx＋2(x0).又由(1)知，当a＝3时，f(x)在[0,3)是减函数.23456789110当x∈(0,3)时，f(x)f(0)＝0，即ln(x＋1)3xx＋3(0x3).下面用数学归纳法证明2n＋2an≤3n＋2.①当n＝1时，由已知23a1＝1，故结论成立；23456789110②假设当n＝k时结论成立，即2k＋2ak≤3k＋2.当n＝k＋1时，ak＋1＝ln(ak＋1)ln(2k＋2＋1)2×2k＋22k＋2＋2＝2k＋3.23456789110ak＋1＝ln(ak＋1)≤ln(3k＋2＋1)3×3k＋23k＋2＋3＝3k＋3，即当n＝k＋1时有2k＋3ak＋1≤3k＋3，结论成立.根据①、②可知对任何n∈N*结论都成立.