《北师大版》一元一次不等式和一元一次不等式组

八年级《数学》下册一元一次不等式（组）实际背景不等式不等式的基本性质解集解不等式数轴表示一元一次不等式解集及数轴表示与一次函数的关系一元一次不等式组解集及数轴表示实际应用知识点一、用一次函数的图象确定一元一次不等式ax+b0（或ax+b＜0）的解集要确定ax+b0（或ax+b＜0）的解集，可以利用一次函数y=ax+b在直角坐标系中的图像。根据x轴上方图像上的点的纵坐标大于0，x轴下方图像上的点的纵坐标小于0，可以确定一次函数y=ax+b的图像在x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围是不等式ax+b0的解集，一次函数y=ax+b的图像在x轴下方的部分所对应的自变量x的取值范围是不等式ax+b＜0的解集。规律小结尖子生笔记用图象确定不等式ax+b0（或ax+b＜0）的解集的步骤是：（1）将一元一次不等式化为标准形式，即ax+b0或ax+b＜0；（2）在平面直角坐标系中画出一次函数y=ax+b的图像，确定图像与x轴的交点；（3）图像在x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围是不等式ax+b0的解集，一次函数y=ax+b的图像在x轴下方的部分所对应的自变量x的取值范围是不等式ax+b＜0的解集。知识点二、用一次函数的图象确定一元一次不等式ax+bcx+d（或ax+b＜cx+d）的解集对于ax+bcx+d（或ax+b＜cx+d）型的不等式，可将它们看成一次函数=ax+b和=cx+d在同一平面直角坐标系内相应的函数值（或＜）情形下得到的相应的自变量的取值范围规律小结1y2y1y2y1y2y用图象确定不等式ax+bcx+d（或ax+b＜cx+d）的解集的步骤是：（1）把不等式转化成ax+bcx+d的形式；（2）在平面直角坐标系中画出一次函数=ax+b和函数=cx+d的图像；（3）在函数图像上，的部分所对应的自变量x的取值范围是不等式ax+bcx+d的解集，＜的部分所对应的自变量x的取值范围是不等式ax+b＜cx+d的解集，=对应的x值就是一元一次方程ax+b=cx+d的解。尖子生笔记1y1y1y1y2y2y2y2y知识点三、一次函数、一次方程和一元一次不等式的关系一次函数y=kx+b（k≠0，k，b是常数）：（1）当y=0时，就得到一元一次方程kx+b=0，此时自变量x的值就是方程kx+b=0的解，即这个一次函数的图象与x轴交点的横坐标。（2）当x，y被看成是两个量时，kx-y+b=0为二元一次方程。（3）一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）的解集是当一次函数y=kx+b的函数值y＞0（或y＜0）时对应的自变量x的取值范围；函数图象中在x轴上方（或下方）的所有点的横坐标均是不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）的解，若点在x轴的上方（或下方），则它的纵坐标y的值大于（或小于0）规律小结知识点四、一元一次不等式组与一元一次不等式组的解集（1）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。（2）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集。（3）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式。规律小结一元一次不等式组的概念包括三方面的含义：（1）几个不等式必须含有同一个未知数；（2）必须都是一元一次不等式；（3）几个不等式用大括号合在一起，表示含义是这几个不等式同时成立。尖子生笔记知识点五、一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集常用方法：（1）数轴法：就是将不等式组中的每个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，就是原不等式组的解集，没有公共部分的，原不等式组无解。（2）口诀法;“同大取大同小取小大小小大中间找大大小小没得找”规律小结一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定，它们的解集、数轴表示如下表：（设ab）.一元一次不等式组解集图示口诀xb同大取大xa同小取小axb大小小大中间找无解大大小小找不着（无解）bxaxbxaxbxaxbxax一元一次不等式的解集和一元一次不等式组的解集的区别和联系：区别：一元一次不等式的解集能使一元一次不等式成立的所有解的集合，在其取值范围内未知数取值只要使不等式成立即可，与其他不等式无关，而不等式组的解集是不等式组中每个不等式的解集的公共部分，不等式组的解集内任意一个值都必须使组成不等式组的每个不等式成立。一元一次不等式都有解，不存在无解的情况，一元一次不等式组存在着有解和无解两种情况。联系：一元一次不等式组的解集来源于每一个一元一次不等式，它的范围要小于或等于每个不等式的解集。尖子生笔记知识点六、列一元一次不等式组解应用题列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示未知数；（2）找出能够表示应用题全部含义的不等关系；（3）根据不等关系写出需要的代数式，列出不等式组；（4）解这个不等式组；（5）写出答案。规律小结例一、已知一次函数y=kx+b的图像经过点(2,4)和(1,)。（1）试求k与b；（2）画出这个一次函数的图象；（3）当y为何值时，x≥0？（4）当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＜0？3838解：（1）因为一次函数y=kx+b的图像经过点(2,4)和(1,)所以解得（2）一次函数的图像如图所示（3）直线上横坐标为非负数的部分所对应的纵坐标大于或等于，所以当（4）直线上纵坐标为0的点的横坐标为-1，所以当x=-1时，y=0.直线上纵坐标小于0的点所对应的横坐标都小于-1，所以当x＜-1时，y＜0.38bk4bk234b34k34x34y340x34y时，x34x34yy1122340-1例二、南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖，现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价（元）与铺设面积x（m²）的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价（元）与铺设面积x（m²）满足函数关系式：=kx。（1）根据图示写出甲工程队铺设广场砖的造价（元）与铺设面积x（m²）的函数关系式；（2）如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600m²，那么公园选则哪个工程队施工更合算?甲y甲y乙y乙y例三、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具不足3件。求小朋友的人数与玩具数。解设：一共有X个小朋友，则玩具总数=3X+4件。第二次分的时候，前面X-1个小朋友每人得到4件，则一共有4(X-1)=4X-4件。余下的不足3件，也就是0(3X+4)-(4X-4)3化简得0-X+83，8X5因为小朋友的人数为整数，所以X的取值有2个，分别是6人和7人。当6个小朋友时，玩具总数22件，前5个每人分4件，最后1人得2件；当7个小朋友时，玩具总数25件，前6个每人分4件，最后1人得1件。解：（1）当0≤x≤500m²时，y与x的函数关系y=k1x.图像经过（500,28000）点得：k1=56，y与x的函数关系y=56x在x≥500时，设y与x的函数关系y=k2x+b图像经过点（500,28000）和点（1000,48000）。带入得：500k2+b=28000……（1）解得：k2=40,1000k2+b=48000……（2）b=8000即：当x500时，设y与x的函数关系y=40x+8000。（2）当x=1600时，=40x1600+8000=72000，=1600k。当＜，即72000＜1600k时，得k＞45.当＞，即72000＞1600k时，得45＞k＞0.当＝，即72000＝1600k时，得k=45.甲y乙y甲y甲y甲y乙y乙y乙y变式：某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分。（1）小明考了68分，那么小明答对了多少道题？（2）小亮获得了二等奖（70分~90分，包括70分和90分）那么小亮答对了几道题？解：（1）设小明答对了x道题．依题意得5x-3（20-x）=68．解得x=16．答：小明答对了16道题．（2）设小亮答对了y道题．依题意得5y-3(20-y)≥705y-3(20-y)≤90因此不等式组的解集为161/4≤y≤183/4．∵y是正整数，∴y=17或18．答：小亮答对了17道题或18道题．例四、若关于x的不等式组的解集是x＜4，求m的取值范围。由(x+6)/5＞x/4+1得x4则不等式组等价于x4x-m因不等式组的解集为x4则x-m的解集包含x4即x-m与x4的公共部分为x4利用数轴易知m≤-40mx14x56x＜＞例五、某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表所示（1）若工厂计划获利14万元，求A，B两种产品应分别生产多少件；（2）若工厂投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，求工厂有哪几种生产方案?（3）在（2）的条件下，哪种方案获利最大？并求出最大利润。A种产品B种产品成本（万元/件）35利润（万元/件）12解：（1）设A种产品x件，B种为（10-x）件，x+2(10-x)=14，x=6，A生产6件，B生产4件；（2）设A种产品x件，B种为（10-x）件，则有如下方程组：3x+5(10-x)≤44x+2(10-x)14解上面的方程组得：3≤x＜6．则工厂有下列3种生产方案：方案1：A生产3件，B生产7件；方案2：A生产4件，B生产6件；方案3：A生产5件，B生产5件；（3）在（2）条件下，第一种方案获利最大，3×1+7×2=17．最大利润是17万元。通过本堂课的学习，你有什么收获吗？