第二节--同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识批注——理解深一点1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋π2(k∈Z)．2．诱导公式一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋αsinα－sinα－sinαsinαcosαcos_αcosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinαtanαtanα－tanα－tan_α诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·π2＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·π2＋αk∈Z”中，将α看成锐角时，“k·π2＋αk∈Z”的终边所在的象限.二、常用结论汇总——规律多一点同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z.三、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打“×”(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()答案：(1)×(2)×(3)×(二)选一选1．已知sinα＝55π2≤α≤π，则tanα＝()A．－2B．2C.12D．－12解析：选D因为π2≤α≤π，所以cosα＝－1－sin2α＝－1－552＝－255，所以tanα＝sinαcosα＝－12.2．若角α的终边过点A(2,1)，则sin3π2－α＝()A．－255B．－55C.55D.255解析：选A由题意知cosα＝25＝255，所以sin3π2－α＝－cosα＝－255.3．已知tanθ＝2，则sinθ＋cosθsinθ＋sin2θ的值为()A.195B.165C.2310D.1710解析：选C原式＝sinθ＋cosθsinθ＋sin2θ＝sinθ＋cosθsinθ＋sin2θsin2θ＋cos2θ＝tanθ＋1tanθ＋tan2θtan2θ＋1，将tanθ＝2代入上式，则原式＝2310.(三)填一填4．若sinθcosθ＝12，则tanθ＋cosθsinθ＝________.解析：tanθ＋cosθsinθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1cosθsinθ＝2.答案：25．sin2490°＝________；cos－52π3＝________.解析：sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－12.cos－52π3＝cos52π3＝cos16π＋π＋π3＝cosπ＋π3＝－cosπ3＝－12.答案：－12－12考点一三角函数的诱导公式[典例](1)已知f(α)＝cosπ2＋αsin3π2－αcos－π－αtanπ－α，则f－25π3的值为________．(2)已知cosπ6－α＝23，则sinα－2π3＝________.[解析](1)因为f(α)＝cosπ2＋αsin3π2－αcos－π－αtanπ－α＝－sinα－cosα－cosα－sinαcosα＝cosα，所以f－25π3＝cos－25π3＝cosπ3＝12.(2)sinα－2π3＝－sin2π3－α＝－sinπ－π3＋α＝－sinπ3＋α＝－sinπ2－π6－α＝－cosπ6－α＝－23.[答案](1)12(2)－23[解题技法]1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了．”诱导公式就是好，负化正后大化小；π的一半整数倍，奇数变化偶不变；函数符号问象限，两个函数看左边．[题组训练]1.口诀第2句已知tanα＝12，且α∈π，3π2，则cosα－π2＝________.解析：法一：cosα－π2＝sinα，由α∈π，3π2知α为第三象限角，联立tanα＝sinαcosα＝12，sin2α＋cos2α＝1，解得5sin2α＝1，故sinα＝－55.法二：cosα－π2＝sinα，由α∈π，3π2知α为第三象限角，由tanα＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sinα＝－55.答案：－552.口诀第1、2、3句sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45°＝34＋14＋1＝2.答案：23.口诀第2、3句已知tanπ6－α＝33，则tan5π6＋α＝________.解析：tan5π6＋α＝tanπ－π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－33.答案：－33考点二同角三角函数的基本关系及应用[典例](1)若tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝()A.165B．－165C.85D．－85(2)已知sinαcosα＝38，且π4απ2，则cosα－sinα的值为()A.12B．±12C．－14D．－12[解析](1)sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝tanα＋1tanα－1＋1tan2α＋1，将tanα＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sinαcosα＝38，所以(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×38＝14，因为π4απ2，所以cosαsinα，即cosα－sinα0，所以cosα－sinα＝－12.[答案](1)A(2)D[解题技法]同角三角函数基本关系的3个应用技巧弦切互化利用公式tanα＝sinαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z实现角α的弦切互化和(差)积转换利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα进行变形、转化巧用“1”的变换1＝sin2α＋cos2α＝cos2α(tan2α＋1)＝sin2α1＋1tan2α[题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tanφ＝43，且角φ的终边落在第三象限，则cosφ＝()A.45B．－45C.35D．－35解析：选D因为角φ的终边落在第三象限，所以cosφ0，因为tanφ＝43，所以sin2φ＋cos2φ＝1，sinφcosφ＝43，cosφ0，解得cosφ＝－35.2．已知tanθ＝3，则sin2θ＋sinθcosθ＝________.解析：sin2θ＋sinθcosθ＝sin2θ＋sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθtan2θ＋1＝32＋332＋1＝65.答案：653．已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则sin2α－sinαcosα＝________.解析：由已知可得sinα＋3cosα＝5(3cosα－sinα)，即sinα＝2cosα，所以tanα＝sinαcosα＝2，从而sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：254．已知－πα0，sin(π＋α)－cosα＝－15，则cosα－sinα的值为________．解析：由已知，得sinα＋cosα＝15，sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝125，整理得2sinαcosα＝－2425.因为(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝4925，且－πα0，所以sinα0，cosα0，所以cosα－sinα0，故cosα－sinα＝75.答案：75[课时跟踪检测]A级——保大分专练1．已知x∈－π2，0，cosx＝45，则tanx的值为()A.34B．－34C.43D．－43解析：选B因为x∈－π2，0，所以sinx＝－1－cos2x＝－35，所以tanx＝sinxcosx＝－34.2．(2019·淮南十校联考)已知sinα－π3＝13，则cosα＋π6的值为()A．－13B.13C.223D．－223解析：选A∵sinα－π3＝13，∴cosα＋π6＝cosπ2＋α－π3＝－sinα－π3＝－13.3．计算：sin11π6＋cos10π3的值为()A．－1B．1C．0D.12－32解析：选A原式＝sin2π－π6＋cos3π＋π3＝－sinπ6－cosπ3＝－12－12＝－1.4．若sinπ－θ＋cosθ－2πsinθ＋cosπ＋θ＝12，则tanθ的值为()A．1B．－1C．3D．－3解析：选D因为sinπ－θ＋cosθ－2πsinθ＋cosπ＋θ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝12，所以2(sinθ＋cosθ)＝sinθ－cosθ，所以sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sinπ2＋α＋cos3π2＋α＝15，则tanα的值为()A．－43B．－34C．－43或－34D．不存在解析：选A由sinπ2＋α＋cos3π2＋α＝15，得cosα＋sinα＝15，∴2sinαcosα＝－24250.∵α∈(0，π)，∴sinα0，cosα0，∴sinα－cosα＝1－2sinαcosα＝75，∴sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43.6．在△ABC中，3sinπ2－A＝3sin(π－A)，且cosA＝－3cos(π－B)，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：选B将3sinπ2－A＝3sin(π－A)化为3cosA＝3sinA，则tanA＝33，则A＝π6，将cosA＝－3cos(π－B)化为cosπ6＝3cosB，则cosB＝12，则B＝π3，故△ABC为直角三角形．7．化简：1－cos22θcos2θtan2θ＝________.解析：1－cos22θcos2θtan2θ＝sin22θcos2θ·sin2θcos2θ＝sin2θ.答案：sin2θ8．化简：cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________.解析：原式＝cosπ2－αsin2π＋π2＋α·(－sinα)·cosα＝sinαsinπ2＋α·(－sinα)·cosα＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.答案：－sin2α9．sin4π3·cos5π6·tan－4π3的值为________．解析：原式＝sinπ＋π3·cosπ－π6·tan－