用等价无穷小代换求幂指函数的极限

龙源期刊网用等价无穷小代换求幂指函数的极限作者：杨凤来源：《科技视界》2013年第34期【摘要】本文讨论了幂指函数求极限的方法，重点探讨了00，∞0，1∞型幂指函数在求极限的过程中利用等价无穷小代换的问题，并提出了相应的定理，给出了证明以及实例。【关键词】幂指函数；等价无穷小；极限ResearchontheLimitofPower-ExponentialFunctionbyEquivalentInfinitesimalYANGFeng（HubeiUniversityofArtsandScience，CollegeofMathematicalandComputerScience，XiangyangHubei441050）【Abstract】Howtosolvethelimitofthepower-exponentialfunctionhasbeendiscussed.Themethodsandexamplesareshowedastohowtoapplythemethodstocalculatelimit，especiallybythereplacementofequivalentinfinitesimal.Thetheoremshavebeenprovidedandproofed.【Keywords】Thepower-exponentialfunction；Equivalentinfinitesimal；Limit1问题提出在大学高等数学中，对于幂指函数求极限的问题，共有两处提到，包括重要极限和洛必达法则。但是，关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。一般得，只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。在教学过程中，有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题，就不知道如何计算了。课本中有一道极限求解题目，具体如下：■（■）■这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解，但此题用重要极限不太容易看出来。如果了解等价无穷小的相关定理，那么这道题就迎刃而解了。鉴于此种情况，本文在前人研究的基础上，总结了幂指函数的求极限的方法，着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。2幂指函数求极限的其他方法龙源期刊网幂指函数的极限类型很多，有确定型和不定式之分。对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。而对于不定式型的幂指函数，通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。2.1重要极限对1∞型的幂指函数极限问题，考虑利用重要极限■（1+■）x=e及其变形公式■（1+x）■=e求极限。例1求极限■（cosx）csc2x.解：■（cosx）csc2x=■[1+（cosx-1）]■=■[1+（cosx-1）]■=e■=e■2.2洛必达法则另外，对00型，∞0型，1∞型幂指函数的极限，可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=elny的形式，转换为■型或■型不定式，然后再利用洛必达法则进行求解。例2求极限■（1+■）x.解：■（1+■）x=■e■=e■因为■（1+■）=0，■■=0由洛必达法则，得：■（1+■）■=e■=e■=e■3用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型，∞0型，1∞型这三种类型不定式的求极限问题，除了运用前两种方法外，还可以使用等价无穷小的代换。这里对这三种类型不定式进行全面探讨，将局限于分式型不定式的等价无穷小代换原理，推广到幂指函数求极限问题中去，从而在理论上较系统的解决了幂指函数求极限的问题。3.100型的等价无穷小代换引理1设α0，α′0为某变化过程中的无穷小。若α～α′，则■～■.龙源期刊网证明：α～α′，所以lim■=lim■=lim■=1，从而有■～■定理1α0，α′0和β，β′均为某变化过程中的无穷小。若α～α′，β～β′，且limα′■=A，则有limαβ=limα′■=A证明：因为α～α′，所以■～■然后就有limβlnα=lim■=lim■=limβ′lnα′limαβ=limeβlnα=limeβ′lnα′=limα′■=A此定理1说明，当limα′■=A时，limαβ中的α和β均可代换为等价无穷小α′和β′。例3求■（sinx）tan■.（00型）分析：因为■sinx=0，■tan2x=0，即极限呈00型。解：当x→0+时，sinx～x，tan2x～2x由定理1，得：■（sinx）■=■x2x=■e■=e■=e0=13.2∞0型的等价无穷小代换∞0型的极限可写为lim[■]β=lim■，其中α0和β均为某变化过程中的无穷小。定理2α0，α′0和β，β′均为某变化过程中的无穷小。若α～α′，β～β′，且lim[■]β′=A，则lim[■]β=lim[■]β′=A龙源期刊网。此定理2说明，当lim[■]β′=A时，α和β均可代换为等价无穷小α′和β′。例4求■[■]■（∞0型）分析：因为■[■]=∞，■sinx=0，即极限呈∞0型。解：当x→0时，ln（1+x）～x，sinx～x由定理2，得：■[■]■=■（■）■=e■=e0=13.31∞型的等价无穷小代换1∞型的极限可写为lim（1+α）■，其中α，β均为某变化过程中的无穷小。引理2设α，β为某变化过程中的无穷小。若lim■=A，则有lim（1+α）■=e■=eA证明：lim（1+α）■=lime■=e■ln（1+α）～α就有lim（1+α）■=e■=e■=eA所以，刚刚文章一开始的那道求极限的题目，可以按照等价无穷小代换来求解。例5求极限■（■）■（1∞型）.解：当x→0，■→1，■→∞时，■（■）■=■[1+（■-1）]■=■[1+■]■■■·■=■■·■=■■·■·■=■.由引理2，得：龙源期刊网■（■）■=e■定理3设α，α′，β，β′均为某变化过程中的无穷小。若α～α′，β～β′，且lim■=A，则有lim（1+α）■=lim（1+α′）■=eA证明：因为lim■=A，由等价无穷小代换原理，得：lim■=lim■lim（1+α）■=e■=e■=lim（1+α′）■=eA这说明，当lim■=A时，lim（1+α）■中的无穷小量α，β可代换为等价无穷小α′，β′。例6■（1+tanx）■求极限（1∞型）.分析：因为■（1+tanx）=1，■■=∞，即极限呈1∞型。解：当x→0+，tanx～x，ln（1+x）～x时，■■=1，由定理3，得：■（1+tanx）■=e【参考文献】[1]华东师大数学系.数学分析[M].4版.北京：人民教育出版社，2011，9.[2]同济大学应用数学系，主编.高等数学（上册）[M].6版.高等教育出版社，2007，4.[3]刘金林.高等数学（上册）[M].机械工业出版社，2013，6.[4]沐国宝.等价无穷小在求幂指函数极限中的应用[J].上海应用技术学院学报，2002，6.[5]冯变英.幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨[J].运城学院学报，2006，10.龙源期刊网[责任编辑：曹明明]