2019-2020学年北京师大附中上学期高二期末考试数学试题(解析版)

第1页共18页2019-2020学年北京师大附中上学期高二期末考试数学试题一、新添加的题型1．已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为（）A．2B．1C．-2D．-1【答案】D【解析】【详解】由题知为纯虚数，实部为.故.故本题选.二、单选题2．已知i是虚数单位，复数z满足1zi，则复平面内表示z的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】根据复数得到复数在复平面内对应的点的坐标，从而得到答案.【详解】复数1zi,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为11，所以复平面内表示z的点在第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题.3．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1B．C．2D．3【答案】C【解析】试题分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=12，得：解得：a1=2，d=2．故选C．【考点】等差数列的前n项和．4．已知双曲线22xa-25y=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于第2页共18页A．31414B．324C．32D．43【答案】C【解析】由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝ca＝32．5．“0mn”是“方程221xymn表示的曲线为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若方程221xymn表示的曲线为椭圆，则0m，0n且mn，则“0nm”是“方程221xymn表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的方程求出m，n的关系是解决本题的关键．6．设正方体1111ABCDABCD的棱长为2，则点1A到平面1BAC的距离是（）A．32B．22C．223D．233【答案】D【解析】由等体积法有1111AACBCAABVV,可求出答案.【详解】设点1A到平面1BAC的距离是h,由等体积法1111AACBCAABVV有11113AACBACBVSh△,有122113sin602223222ACBSAC△111121114223323CAABAABVSBC△所以142333h，解得：233h第3页共18页故选：D【点睛】本题考查点到面的距离，考查等体积法，属于基础题.7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A．5618B．55C．65D．255【答案】D【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），AE＝（﹣2，1，2），BF＝（﹣2，0，1），设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，第4页共18页则cosθ＝•AEBFAEBF＝635＝255,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为255．故选D．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.8．如图，已知三棱锥S–ABC中，SA=SB=CA=CB=3，AB=2，SC=2，则二面角S–AB–C的平面角的大小为A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】取AB的中点O，连接SO，CO，由题设条件推导出AB⊥平面SOC，由此能二面角S﹣AB﹣C的平面角是∠SOC，在△SOC中，求得∠SOC.【详解】如图，取AB的中点O，连接SO，CO，由SA=SB=CA=CB可得AB⊥平面SOC，∴二面角S–AB–C的平面角是∠SOC．在△SOA中，SO=222SAAO，同理CO=2，在△SOC中，SO=CO=SC=2，∴∠SOC=60°，二面角S–AB–C的平面角的大小为60°．故选C．【点睛】本题考查面面角的大小的求法，解题时要认真审题，合理转化空间问题为平面问题，属于中档题．9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(0)ypxp上任意一点，M是第5页共18页线段PF的中点，则直线OM的斜率的最大值为（）A．22B．1C．2D．2【答案】B【解析】设00,Pxy，,02pF，M是线段PF的中点，所以002,22pxyM.直线OM的斜率为：00020000012k2222222yyyppypypxxpyp.显然00y时的斜率较大，此时000011k122222ypyppypy，当且仅当0022yppy，0 yp时，斜率最大为1.故选B.10．已知曲线1:2Cyx与曲线222:4Cxy怡好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．,10,1B．1,1C．1,1D．1,01,【答案】C【解析】利用绝对值的几何意义，由2xy可得2,022,0yyxyyy，曲线2xy与方程224xy的曲线必相交于0,2，为了使曲线1C与双曲线2C恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它公共点，将2xy代入方程224yx，整理可得214440yy，分类讨论，可得出结论，根据对称性可得出0y时的情形.【详解】双曲线1C的方程为2,022,0yyxyyy，第6页共18页所以，曲线1C的图象与曲线2C的图象必相交于点0,2，为了使曲线1C与曲线2C恰好有两个公共点，将2xy代入方程224yx，整理可得214440yy.①当1时，2y满足题意；②当1时，由于曲线1C与曲线2C恰好有两个公共点，2161611160，且2是方程214440yy的根，则4101，解得11.所以，当0y≥时，11.根据对称性可知，当0y时，可求得11.因此，实数的取值范围是1,1.故选：C.【点睛】本题考查利用曲线的交点求参数的取值范围，在解题时要对变量的取值进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、填空题11．i是虚数单位，则51ii的值为__________.【答案】13【解析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【详解】5(5)(1)23131(1)(1)iiiiiii．【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.12．双曲线2212516yx的渐近线方程为_____________第7页共18页【答案】5x4y【解析】令2202516yx，解得54yx．∴双曲线2212516yx的渐近线方程为54yx．答案：54yx13．设12,FF是椭圆22194xy的两个焦点，P是椭圆上的点，且12:2:1PFPF，则△12FPF的面积等于___________.【答案】4【解析】由椭圆的定义有126PFPF,结合12:2:1PFPF可得14PF,22PF,又1225FF,则三角形面积可求.【详解】由椭圆22194xy有3,2,5abc.由椭圆的定义有126PFPF，又12:2:1PFPF所以14PF,22PF,又1225FF.在△12FPF中,2222212122420PFPFFF所以△12FPF为直角三角形,△12FPF的面积为121124422PFPF故答案为:4【点睛】本题考查椭圆的定义和焦点三角形的面积,属于中档题.14．已知F是抛物线C:28yx的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点．若为F的中点，则F____________．【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点'F，作MBl与点B，NAl与点A，由抛物线的解析式可得准线方程为2x，则2,4ANFF'，在直角梯形ANFF'中，中位线第8页共18页'32ANFFBM，由抛物线的定义有：3MFMB，结合题意，有3MNMF，故336FNFMNM．点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．15．已知等比数列{an}各项均为正数，5671,32aaa，若存在正整数(3)kk，使得123123kkaaaaaaaa，请写出一个满足题意的k值_________.【答案】4～12的正整数均可【解析】根据题意求出等比数列na的通项公式，然后由条件123123kkaaaaaaaa有152212nkk，求解即可.【详解】在等比数列{an}中,设公比为q,数列各项均为正数,所以0q5671,32aaa,则253aqq,所以26qq,解得:2q=或3q(舍)又44511122aaqa,所以512a.则15161222nnnnaaq555123212122211232kkkkaaaa1112315221123122232kkkkkkkkkaaaaaq123123kkaaaaaaaa第9页共18页即12112123232kkkk,即152212kkk1522210kkk当152kkk,即213100kk,也即131291312922k时,有152220kkk成立.又正整数(3)kk,且1312913122又当410k时,1502kk,显然有152221kkk成立.当11,12k时,也有152221kkk成立.所以4～12的正整数均可满足条件.故答案为：4～12的正整数均可【点睛】本题考查等比数列求通项公式和前n项和以及解不等式，属于中档题.16．已知数列na的各项均为正整数，Sn为其前n项和，对于n＝1，2，3，…，有135,=,2nnnnnkaaaaa为奇数为偶数，其中k为使1na为奇数的正整数，当35a时，1a的最小值为__________；当11a时，1220SSS___________.【答案】5910【解析】由题设可知当35a时，252ka解得15253ka或152mka，因为na的各项均为正整数，,mk为正整数，所以当2k时，1a有最小值154553a.当11a时，可求出2348,1,8aaa，得到数列na是周期为2的周期数列，可求出结果.【详解】数列na的各项均为正整数第10页共18页135,=,2nnnnnkaaaaa为奇数为偶数,其中k为使1na为奇数的正整数.当35a时,232kaa或3235aa.即252ka或2535