研究生教学大纲

研究生课程教学大纲课程编号：00912717课程名称：拓扑学英文名称：Topology学时：32学时学分：2学分适用学科：信息与计算科学课程性质：学位课先修课程：近世代数、集合论一、课程的性质及教学目标课程性质：拓扑学是信息与计算科学专业的专业课。拓扑学是数学的基础学科之一，也是数学相关专业的一门重要的基础课。其与分析学、微分几何、动力系统等数学的其它分支有着十分紧密地联系，并且这门学科在物理学、地质学及经济学等其它领域中也有很多应用。通过本门课程的教学，使学生了解和掌握拓扑学的基本内容，为进一步学习其它课程，并为将来从事教学、科研及其它实际工作打好基础。教学目的：通过本课程的学习，使学生了解和掌握点集拓扑学与代数拓扑学的基本理论和方法，为学习有关后继课程，进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。二、课程的教学内容及基本要求第一章拓扑空间与连续性1、理解与掌握拓扑、开集与闭集、邻域、闭包、内部、内点、子空间这些概念以及它们所具有的性质；理解这些概念在度量空间的相应形式；能了解一些拓扑空间。2、理解与掌握连续映射的定义与多种等价的定义；理解与掌握连续映射的性质；理解同胚与拓扑不变性。3、理解与掌握乘积空间与拓扑基的概念及相应的性质。第二章几个重要的拓扑性质1、理解与掌握分离公理1T、2T、3T及4T公理以及满足分离公理的拓扑空间所具有的拓扑性质。2、理解与掌握可数公理1C公理和2C公理以及满足可数公理的拓扑空间所具有的拓扑性质。3、了解Urysohn引理和Tietze扩张定理及其应用。4、理解与掌握紧致空间与紧子集的定义与性质，特别是理解与掌握紧子集与闭子集的关系；理解与掌握紧度量空间的连续映射的性质；理解局部紧空间的定义与性质；理解单点紧致化的定义与性质。5、理解与掌握连通空间、局部连通空间、道路连通空间与局部道路连通空间的定义与性质。第三章商空间与闭曲面1、了解空间中的几种常见曲面。2、理解与掌握商空间与商映射的定义及两者之间的关系；了解某些图形经过商映射后得到的商空间的类型。3、理解与掌握拓扑流形与闭曲面的定义。4、理解与掌握闭曲面的分类定理内容；了解分类定理的证明过程；会判断给定多边形表示的闭曲面的类型。第四章同伦与基本群1、理解同伦、同伦等价与相对同伦，收缩核、形变收缩核与强形变收缩核的概念；能构造简单映射的同伦。2、理解定端同伦与道路类的概念；理解道路类乘法的定义与性质；理解与掌握基本群的定义与性质；理解与掌握由连续映射所诱导的基本群之间的同态的定义与性质。3、掌握计算基本群的一些方法：如利用基本群的同伦不变性，利用乘积空间基本群的直积表示，利用Van-Kampen定理；了解基本群的几点应用，如证明代数基本定理与2维的Brouwer不动点定理等。4、了解几种典型流形的基本群，如S1、S2及T2等；会计算简单流形的基本群。第五章复叠空间1、理解与掌握复叠空间的定义与性质；了解一些最简单拓扑空间的复叠空间的例子。2、了解同论提升定理与映射提升定理；理解复叠空间的存在性定理与分类定理。3、理解与掌握复叠变换的定义与性质。4、了解正则复叠空间与泛复叠空间的定义与性质。三、课内学时分配章节内容讲课学时备注第一章拓扑空间与连续性4第二章几个重要的拓扑性质4第三章商空间与闭曲面8第四章同伦与基本群10第五章复叠空间6合计学时32四、推荐教材与主要参考书目推荐教材：《基础拓扑学讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997.主要参考书目：[1]《点集拓扑讲义》，熊金城，高等教育出版社，1998.[2]《拓扑学基础》，林金坤，科学出版社,2007.[3]《拓扑学导论》，鲍里索维奇,勃利兹尼亚科夫，高等教育出版社,1992.[4]《基础拓扑学》，何伯和，吉林大学出版社，2005.[5]《点集拓扑学》，徐森林，高等教育出版社，2007.五、教学与考核方式教学环节包括：课堂讲授、习题课、课外作业。通过本课程各个教学环节的教学，重点培养学生的自学能力、分析问题解决问题的能力。以教师讲授为主，学生练习为辅。考核方式：本课程考核方式采用期末考试闭卷笔试形式。编写人（签字）：编写时间：