2017年高考数学文二轮复习课件：专题整合突破-专题8-系列4选讲-第1讲(选修4-4)坐标系与参数

适考素能特训1．[2016·合肥质检]在直角坐标系xOy中，曲线C：x＝2cosα＋1，y＝2sinα＋1(α为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ＋ρcosθ＝m.(1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系；(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为22，求实数m的取值范围．解(1)曲线C的普通方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆；当m＝0时，直线l的直角坐标方程为：x＋y＝0，圆心C到直线l的距离为d＝|1＋1|12＋12＝2＝r，r为圆C的半径，所以直线l与圆C相切．(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝|1＋1－m|12＋12≤322，解得－1≤m≤5.2．[2016·湖南四校联考]已知直线l的参数方程为x＝－1－32t，y＝3＋12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－π6.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sinθ－π6的公共点，求3x＋y的取值范围．解(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－π6，所以ρ2＝4ρsinθ－π6＝4ρ32sinθ－12cosθ又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝23y－2x，所以圆C的普通方程为x2＋y2＋2x－23y＝0.(2)设z＝3x＋y，由圆C的方程x2＋y2＋2x－23y＝0⇒(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆C的圆心是(－1，3)，半径是2，将x＝－1－32t，y＝3＋12t代入z＝3x＋y得z＝－t.又直线l过C(－1，3)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即3x＋y的取值范围是[－2,2]．3．[2016·山西质检]已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：x＝6cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．解(1)C1：ρsinθ＋π6＝32，C2：ρ2＝61＋2sin2θ.(2)∵M(3，0)，N(0,1)，∴P32，12，∴OP的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsinθ＋π6＝32得ρ1＝1，P1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin2θ得ρ2＝2，Q2，π6.∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.4．[2016·长春质量监测]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋tcosα，y＝3＋tsinα(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cosθ－π3.(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．解(1)对于曲线C2有ρ＝8cosθ－π3，即ρ2＝4ρcosθ＋43ρsinθ，因此曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x－43y＝0，其表示一个圆．(2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得：t2－23sinα·t－13＝0，|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝23sinα2－4×－13＝12sin2α＋52，因此|AB|的最小值为213，最大值为8.5．[2016·河南六市一联]在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为x＝1＋t，y＝t－3(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθsin2θ.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．解(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝2cosθsin2θ，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.由直线l的参数方程x＝1＋t，y＝t－3，得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，t1t2＝7，所以|AB|＝2|t1－t2|＝2×t1＋t22－4t1t2＝2×82－4×7＝62，因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB的面积是12|AB|·d＝12×62×22＝12.6．[2016·贵阳监测]极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ≥0)，曲线C2的参数方程为x＝m＋tcosα，y＝tsinα(t为参数，0≤απ)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A、B、C.(1)求证：|OB|＋|OC|＝2|OA|；(2)当φ＝π12时，B、C两点在曲线C2上，求m与α的值．解(1)证明：依题意|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cosφ＋π4，|OC|＝4cosφ－π4，则|OB|＋|OC|＝4cosφ＋π4＋4cosφ－π4＝22(cosφ－sinφ)＋22(cosφ＋sinφ)＝42cosφ＝2|OA|.(2)当φ＝π12时，B、C两点的极坐标分别为2，π3、23，－π6，化为直角坐标为B(1，3)、C(3，－3)，所以经过点B、C的直线方程为y－3＝－3(x－1)，而C2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m＝2，α＝2π3.7．[2016·重庆测试]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1＋cosα，y＝sinα(α为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)求曲线C和直线l在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P的坐标为(－2,2)，求|PB|＋|AB|的最小值．解(1)由曲线C的参数方程x＝1＋cosαy＝sinα可得，(x－1)2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，所以曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.由直线l的极坐标方程：ρsinθ＋π4＝22，可得ρ(sinθ＋cosθ)＝4，即x＋y＝4.(2)设点P关于直线l的对称点为Q(a，b)，则－2＋a2＋2＋b2＝4，b－2a－－2·－1＝－1，解得a＝2，b＝6，由(1)知，曲线C为圆，圆心坐标为C(1,0)，故|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1＝37－1.当Q，B，A，C四点共线，且A在B，C之间时，等号成立，所以|PB|＋|AB|的最小值为37－1.8．[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝acost，y＝1＋asint(t为参数，a0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，ρ＝4cosθ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．所以a＝1.