11-9级数综合题

第九节级数综合题第十一章一、数项级数二、幂级数三、傅里叶级数一、数项级数解,2121nnnnnsu的部分和为设2111su1nnnssu22121221211nnnnnn所求级数为1121nnnnu所求级数的和为nnsslimnnn212lim1.试写出该级数，并求和例1解,1,01nnnnnnsvsuu的部分和为设于是故收敛因为.0lim,1nnnnvvnnnnvs1limlim.1发散故级数nnu例2.,11的敛散性试讨论收敛且nnnnuv例3解,11122nnun设111limlim22nnunnn因11112lim22nnnn1.1发散故级数nnu.1的敛散性判别nnu例4,,1为非零常数收敛设aunn解.0lim1nnnnuu收敛，故因为.1的敛散性试判断nnau,0limaaunn从而.1发散故级数nnau例5.0ln31的敛散性研究级数aann故公比是等比级数因),ln(ln31arann解级数收敛。时，当,1ln1aeae,1ln,0aeaea时或当.,级数发散此时.5761的敛散性判别级数nnnn则记,76,576nnnnnnvu解(方法1)nnnnnnnnnvu67576limlim111lim75nn.,7611故原级数收敛收敛又级数nnnnv例6(方法2)11157576limlimnnnnnnnnuu因为.1765716lim7575nnn.,原级数收敛由比值判别法知例711210)1()1)(1)(1(21nnaaaaann解)1()1)(1(limlim101221nnnnnaaaauulnnnnnaa1lim1判断级数,)0(a.的敛散性21)1()1)(1(110nnaaaan.,010原级数收敛时，la.,1,1原级数发散时ala.,21,1级数收敛时la?211111是否收敛判断nnnnnn解.)1(非绝对收敛,21121limlim1enunnnnn.,111发散由比较法知发散而nnnun例8?,敛是绝对收敛还是条件收若收敛,211nnnnnu因121121221nnnnnnnnnnuu121221nnnnn1212122nnnnn,1nnuu即,由莱布尼茨判别法知.)(收敛条件原级数(2)判原交错级数收敛.011121limlimnnnnnnu且例9,ln21111是否收敛判别nnnn,21,21ln211收敛而因nnnnnnu解.原级数为绝对收敛,ln211收敛故由比较法知nnn?,敛是绝对收敛还是条件收如果收敛例10?:11121正实数是否收敛判别knnkn,11121knnnu记解,11112kknnnuk时，当收敛，由比较判别法知而11nkn?,敛是绝对收敛还是条件收若收敛.,11121故原级数绝对收敛收敛nknnnu,10时当k发散，但故1nnu,1111122kknn,:原级数收敛由莱布尼茨判别法知,11lim1lim2kknknnnnnu,011lim2knn且.故原级数条件收敛例11?121131是否收敛判别nnnn则设,12131nnnnu解313112121limlimnnuunnnnnn,1211121lim32121nnnn?,,还是条件收敛是绝对收敛若收敛.,1原级数绝对收敛收敛故nnu例12则收敛及若,1212nnnnba,)(2122nnnnbaba因证22nnnnbaba.,121也收敛nnnnnnbaba又因收敛故.1nnnba,,1212收敛而nnnnba,222nnnnbbaa,,,11212都收敛而nnnnnnnbaba.12收敛故nnnba,20Rxannn的收敛半径设幂级数解当知1nnnxa二、幂级数).(30发散点收敛点为幂级数nnnxa,1,,5,4,3,2,1,0,1,2中试指出点ee哪些点.22时发散时收敛，xx,2330时收敛当故xxannn,23时发散x,)5,1(4,3,,2为收敛点于是e.),5()1,(,0,1,21为发散点e例13.212的收敛域求级数nnnax.)(,1nnxu用比值法判缺项级数解xuxunnn1lim时，级数收敛；即时),(,2222aax例14nnnnnaxax222122lim122ax发散，时，原级数为当,1221nax22,22aa故所求收敛域为.0!12的收敛域求级数axannnn!!1limlim2211naanaaρnnnnnn解,1,;1,01lim12aaannn;,,,1收敛域为时故当Ra.0,0,1处收敛级数仅在时当xRa例15例16试写出的收敛域为若,4,40nnnxa解.40收敛已知nnna.,012并说明理由的收敛域nnnxa时，当2x,20121收敛时若nnnxax,,4210矛盾处收敛在推得xxxannn.2,2012的收敛域为故nnnxa012nnnxa,420收敛nnna,02也收敛则nnnxa例17,3110处发散在设幂级数xxannn解01133nnnax处因时，又当12x,12处收敛在x.,并证明之指出其收敛半径,21时故当x011nnna,20发散nnna.10发散nnnxa收敛，02nnna.1,2210收敛时故nnnxax.2R收敛半径为,310处条件收敛在设xxannn013nnna知,3,4处则在设xR.4R故例18解.,并说明理由试确定其收敛半径R.4.4不可能大于下证故有RR.,矛盾必绝对收敛,40条件收敛nnna00413nnnnnnaa即例19,000时收敛当若xbbxannn,00处收敛在因xbxannn解处发散，在又bxbxannn20.bR所求收敛半径,,2Rbx试指出其收敛半径时发散当.并证明之,0时故当bbbx绝对收敛。0nnnbxa时，故当bbbbx2发散，0nnnbxa?,lim01收敛半径求不存在若nnnnnnxaaa解nnnnnnaa121221limlim11.,61;,23为偶数为奇数nn.,lim1比值法失效不存在nnnaa？收敛半径如求Rxnnnn0212例20(方法1)根值审敛法2212limlimxxunnnnnn;,2幂级数收敛时当x.的方法介绍几种求其收敛半径,幂级数发散,2时当x.2R故收敛半径为;,23,0原级数收敛收敛时当由比较法知nnnxnnnnnnnxxx2321221(方法2).,210原级数发散发散时当nnnx.2232100的收敛半径都为与而nnnnnnxx.2也是因此原级数的收敛半径0212nnnnx.12,20发散原级数为时又当nnx,,2,原级数发散时当因此x,2212200时收敛在及因xxxnnnnnnn(方法3).2:R故其收敛半径为.2时收敛所以原级数在x0212nnnnx例21.2:,!02xxfxfnxxfnn验证故因,01limlim21nxuunnnn解内收敛。，在02!nnnxxf01122!12!nnnnnxxnxxf.2!202xxfmxxmm例22,0,21;0,cos1)(2xxxxxf设解0cos11)(2xxxxf，0222111nnnnxx！122121nnnnx，！.的幂级数展开为将xxf122121)(nnnnxxS！和函数在其收敛域(-,+)上连续，)0()(lim)(lim00SxSxfxx),(,21)(1221xnxxfnnn！),(!2221)(2321，故nnnxnnxf例23的幂展成将xxxxf21ln分析.,,积分再展开求导)]'1[ln(2xxxf因解.,并求其收敛区间级数2122111xx6426425314231211xxx11x而,112x积分得21lnxx,,1上式为交错级数时当x121122642125310nnnnun753764253154231321xxxx,0lim,1nnnnuuu且,,1级数收敛时当x,由莱布尼茨判别法知.1,1:因此收敛区间为三、傅里叶级数展开成以将πxxπxπxf0;0,0解,2100dxxaπnxnxxππa0dcos100sin1|sinnxdxnnnxx02|cosnnxnncos112.2为周期的傅立叶级数π例240sin1nxdxxbnππxnxπnπnnxxπ00dcos1|cosn11212cos12124nxnnππxf故.22000fff.2,0;12,1222knknπkan1sin1nnxnππx,00,例25展成以将,2,0;20,2πxππxxπxf,奇延拓解,2,1,0,0nan20dsin22πxnxxππbn2200dcos4|cos22ππxnxπnnnxxππ.2为周期的正弦级数π,2,1,2sin422nnnn1sin2sin2112nnxπnπnnxf故.,0πx例26.0,1;0,122πxxπxππxπx