排列与组合(含答案2)

1排列复习一．排列数公式的应用1．计算：(1)2A34＋A25；(2)A88A58．2．化简：Amn＋mAm－1n．3．(2013江苏南京模拟)方程：A42x＋1＝140A3x的解是__________．4．化简Am－1n－1·An－mn－mAn－1n－1＝__________．二、排列的概念与简单的排列问题一、选择题1．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有()A．A88种B．A48种C．A44A44种D．2A44种2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A．8B．24C．48D．1203．为了迎接某年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒4．某班新年联欢会原定是5个节目，且已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法共有()A．42种B．30种C．20种D．96种5．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72B．96C．108D．1446．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()2A.15B.25C.35D.45二、填空题[来源:]7．随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．8．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有________种．9．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为________(用数字作答)．三、解答题10．喜羊羊家族的四位成员，与灰太狼，红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照张合影(排成一排)．(1)要求喜羊羊的四位成员必须相邻，有多少排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少排法？11．由字母A、E及数字1、2、3、4形成的排列．(1)由这些字母，数字任意排成一排共能形成多少不同的排列？(2)要求首位及末位只能排字母，排成一列有多少不同排列？(3)要求末位不能排字母，有多少不同的排列？12．3名男生、4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选5名同学排成一行；[来源:](2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；(10)排成前后两排，前排3人，后排4人．排列与组合2一．基础知识1.2组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做3从n个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号mnC表示．3．组合数公式的推导：（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC；②求每一个组合中m个元素全排列数mmA，根据分步计数原理得：mnA＝mnCmmA．（2）组合数的公式：(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm或)!(!!mnmnCmn),,(nmNmn且二、学习新课：13组合数的性质1：mnnmnCC．一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：mnnmnCC．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：∵)!(!!)]!([)!(!mnmnmnnmnnCmnn又)!(!!mnmnCmn，∴mnnmnCC说明：①规定：10nC；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③ynxnCCyx或nyx．2．组合数的性质2：mnC1＝mnC+1mnC．一般地，从121,,,naaa这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是mnC1，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a，一类不含有1a．含有1a的组合是从132,,,naaa这n个元素中取出m1个元素与1a组成的，共有1mnC个；不含有1a的组合是从132,,,naaa这n个元素中取出m个元素组成的，共有mnC个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．4证明：)]!1([)!1(!)!(!!1mnmnmnmnCCmnmn)!1(!!)1(!mnmmnmnn)!1(!!)1(mnmnmmn)!1(!)!1(mnmnmnC1∴mnC1＝mnC+1mnC．三、典例分析例1（1）计算：69584737CCCC；解：（1）原式4565664889991010210CCCCCCC（2）求证：nmC2＝nmC+12nmC+2nmC．证明：（2）右边1121112()()nnnnnnnmmmmmmmCCCCCCC左边例2解方程：（1）3213113xxCC；解：（1）由原方程得123xx或12313xx，∴4x或5x，又由111312313xxxN得28x且xN，∴原方程的解为4x或5x上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x和5x代入检验,这样运算量小得多.（2）解方程：333222101xxxxxACC．[来源:]（2）原方程可化为2333110xxxCA，即5333110xxCA，∴(3)!(3)!5!(2)!10!xxxx，∴11120(2)!10(1)(2)!xxxx，∴2120xx，解得4x或3x，经检验：4x是原方程的解[来源:]例3男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．解题导引(1)区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题．(2)解组合问题时，常遇到“至多”、“至少”问题，解决的方法常常用间接法比较简单，计算量也较小；用直接法也可以解决，但分类要恰当，特别对限制条件比较多的问题．解(1)第一步：选3名男运动员，有C36种选法．第二步：选2名女运动员，有C24种选法．5共有C36·C24＝120(种)选法．(2)“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246(种)．(3)从10人中任选5人，有C510种选法．其中不选队长的方法有C58种．所以“至少1名队长”的选法有C510－C58＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法．其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时共有C48－C45种选法．故既要有队长，又要有女运动员的选法有C49＋C48－C45＝191(种)．课堂练习：1．计算C14＋C25＋…＋C1720等于()A．C1721B．C1721－1C．C1821－1D．C1821解析：选B.原式＝(C04＋C14)＋C25＋…＋C1720－1[来源:]＝(C15＋C25)＋…＋C1720－1＝(C26＋C36)＋…＋C1720－1…＝C1620＋C1720－1＝C1721－1.2．从A，B，C，D，E五人中选出2人参加演讲，共有选法的种数为()A．20[来源:]B．10C．15D．5解析：选B.共有选法C25＝5×42＝10.一、组合概念的理解与应用活动与探究1判断下列问题是排列问题还是组合问题，并分别求出对应的方法数．(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？迁移与应用1．若已知集合P＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为__________．2．中国、日本、韩国、朝鲜四国举行女足邀请赛，赛制采取单循环赛方式，请列举出所有各场比赛的双方．区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．二、与组合数有关的计算与证明活动与探究21．计算：(1)3C38－2C25＋C88；(2)C98100＋C199200；(3)C16＋C26＋C37．2．证明：mCmn＝nCm－1n－1．迁移与应用1．计算：C22＋C23＋C24＋…＋C210＝__________．62．若Cx15＝C2x－615，则x＝__________．3．证明下列各等式：(1)Cmn＝nmCm－1n－1；(2)Cmn＝m＋1n＋1Cm＋1n＋1；(3)C0n＋C1n＋1＋C2n＋2＋…＋Cm－1n＋m－1＝Cm－1n＋m．(1)组合数公式的选取：涉及具体数字的可以用展开式计算，涉及字母的可以用阶乘式计算．(2)性质1：Cmn＝Cn－mn主要应用于简化运算．性质2：Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n从右到左两个组合数合为一个，实现了由繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简．三、简单组合问题活动与探究3现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？迁移与应用1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种2．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有__________种．解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．四、有限制条件的组合问题活动与探究41．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门