四年级奥数秋季班讲义(上)

莱特1+1思维教育思维数学四年级课程1莱特1+1思维教育辅导讲义课题巧妙求和（一）授课时间：授课教师：知识点梳理数列：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中的个数称为项数。等差数列与公差：从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。通项公式：第n项=首项+（项数﹣1）×公差；项数公式：项数=（末项﹣首项）÷公差＋1；求和公式：总和=（首项＋末项）×项数÷2教学内容例1有一个数列，4、10、16、22、……、52，这个数列共有多少项？分析仔细观察会发现这个数列后一项与前一项的差都是6，即公差是6，所以这是一个等差数列，并且它的首项是4，末项是52，要求项数，可以根据项数公式：项数=（末项﹣首项）÷公差＋1进行计算。例2有一等差数列：3、7、11、15、……这个等差数列的第50项是多少？第100项呢？分析仔细观察会发现这个数列是公差为4的等差数列，首项是3，要求第50项和第100项，可以根据通项公式：第n项=首项+（项数﹣1）×公差进行计算。莱特1+1思维教育思维数学四年级课程2例3有这样一列数，1，2，3,4……99,100。请你写出这列数各项相加的和。分析如果我们把数列1，2，3,4……99,100与数列100,99,98,97……2,1进行相加，相当于采用两两配对的方法进行求和，并且每对的和为101,共有100个这样的对，从而可以得到所求数列的和。例4求等差数列2、4、6……48、50的和。分析这个数列是公差为2的等差数列，可以根据公式之间计算。注意：要求一数列的和需要先求出项数。练习：1、等差数列中，首项为1，末项为39，公差为2，这个等差数列共有多少项？2、有一个等差数列：2、5、8、11……101，这个等差数列共有多少项？3、已知等差数列11、16、21、26……1001，问这个数列共有多少项？4、一等差数列，首项为3，公差为2，项数是10，求它的末项是多少？5、求数列1、5、9、13……这个等差数列的第20项。6、求等差数列1、4、7、10……这个等差数列的第30项。7、求等差数列2、6、10、14……这个等差数列的第100项。8、计算下面各题：（1）1＋2＋3＋4＋……＋49＋50（2）6＋7＋8＋9＋……＋75（3）2＋6＋10＋14＋18＋22（4）17＋19＋21＋…＋39；（5）5＋8＋11＋14＋…＋50莱特1+1思维教育思维数学四年级课程3莱特1+1思维教育辅导讲义课题巧妙求和（二）授课时间：授课教师：知识点梳理某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可以用等差数列求和公式计算。在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可以考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。教学内容例1小林读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页？分析根据“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天的读的页数是按照一定的规律排列的数，即30、33、36……57、60。要求这本书共有多少页就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项是30，末项是60，项数是11，因此可以根据等差数列的公式求解总和。例2一些同样粗细的圆木，像如图所示的一样均匀的堆放在一起，已知最下面一层有70根，那么一共有多少根圆木？分析根据图可以发现这是一个公差是1的等差数列，首项是1，末项是70，要求一共有多少根圆木，其实就是求这个等差数列的和。可以根据通项公式求解计算。例330把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？分析开第一把锁时如果不凑巧，试了29把钥匙都还不行，那么剩下的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要29次，同样的，开第二把锁至多需要试28次，开第三把锁至多需要试27次……等打开第29把锁时，剩下的一把就不用试了，一定能打开。所以，至多需要29＋28＋27＋……＋1次，从而将实际问题转化成了等差数列的求和问题。莱特1+1思维教育思维数学四年级课程4例4某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手，那么共握了多少次手？分析假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个人依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次，依此类推，第50个人和剩下的人握了一次手，这样他们握手的次数如下：50、49、48、……、2、1。例5求1～99个连续自然数的所有数字之和。分析注意首先要求的是99个连续自然数的数字之和，而不是求着99个数的和。为了能方便求解，我们不妨把0算进来（它不影响我们求数字之和），计算0～99这100个数字之和，这100个数头尾两两配对后每两个数字之和都相等，都是9＋9=18，一共有100÷2=50对，所以1～99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。练习：1、刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完，这批零件共有多少个？2、莉莉学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学了1个，最后一天学会了16个，莉莉在这些天中学会了多少个单词？3、用相同的小立方体摆成如右图所示的图形，那么第10层有多少个小立方体4、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？5、有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁有配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？6、学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有的参赛选手各赛一场，如果有21人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？7、一次同学聚会中，参加的有43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握手一次手。那么一共握了多少次？8、求1～199的199个连续自然数的所有数字之和。9、求1～999的999个连续自然数的所有数字之和。莱特1+1思维教育思维数学四年级课程5莱特1+1思维教育辅导讲义课题加法乘法原理与几何计算授课时间：授课教师：知识点梳理1、加法原理：如果完成一项任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这项任务共有：m1+m2.......+mn种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。2、乘法原理：如果完成一项任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这项任务共有：m1×m2.......×mn种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。教学内容例1、从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有三条路可走。王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种方法？分析：用图中的序号表示其中的5条路。可以将王叔叔的各种走法根据线路示意图一一列举出来。43215南京上海南通例2、用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？分析：要使信号不同，就要求每一种信号颜色的顺序不同，把这些不同的信号一一列举出来即可。例3、有三张数字卡片，分别为3,6,0。从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两位数？分析：排成时要注意“0”不能排在最高位，从而可以进行分类考虑：当十位上是6或者是3时所得数的个数。莱特1+1思维教育思维数学四年级课程6例4、从1~8这八个数中，每次取两个数，要使它们的和大于8，有多少种取法？分析：为了既不重复又不遗漏的统计出结果，应该按一定的顺序分类列举，可以按照“几+8，几+7，几+6，几+5”的顺序来思考。例5、在一次足球比赛中，4个对进行循环赛，需要比赛多少场？分析：4个队进行循环赛，也就是说4个队每两个队都要赛一场，设4个队分别为A、B、C、D可将他们两两比赛的情况列举出来。例6、用0、5、4、9排成各位数字不同的三位数，共可以排成多少个？其中最小的数是多少？最大的数是多少？分析：要排成各位数字不同的三位数，我们知道这个数的首位一定不能是0，因此首位数字只能是5、4、9共有三种情况，首位选定后，只剩下三个数字了，十位数字就可以从这剩下的三个数中选取，共有三种情况，同样地，十位选好后只剩下两个数字了，各位数字就只能从这两个数字中选取了，只有两种情况，最后运用乘法原理可以求出结果。练习：1.从甲地到乙地，有两条直达铁路和四条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同的走法？2．从甲地到乙地有两条直达铁路，从乙地到丙地有四条直达公路，那么从甲地到丙地有多少种不同的走法？3．甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法？4.用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多少？5．从1~6这六个数字中，每次取两个数，要使它们的和大于6，有多少种取法？6．在一次乒乓球比赛中，参加比赛的对进行循环赛，一共赛了28场，问共有几个队参加比赛？7．用0、1、3、4、5排成各位数字不同的四位数，共可以排成多少个？其中最小的数是多少？最大的数是多少？8．从1～10这十个数中，每次取两个数，要使它们的和大于10，有多少种取法？莱特1+1思维教育思维数学四年级课程7莱特1+1思维教育辅导讲义课题巧数图形授课时间：授课教师：知识点梳理1、直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。射线：把直线的一端无限延长。2、直线特点：没有端点，没有长度。线段特点：有两个端点，有长度。射线特点：只有一个端点；没有长度。3、①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；②数角规律：总数=1+2+3+…+（射线数一1）；③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：④数正方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数教学内容例1、数出下面图形有多少条线段。ADBC分析：要正确解答这类问题，需要按照一定的顺序来数，做到不重复、不遗漏，因此我们可以分别从A点、B点、C点出发数线段。想一想：请你数一数下面图中各有多少条线段？（注意：线段都是直的）例2、数一数图中有多少个锐角。分析：数角的方法和数线段的方法类似，图中的5条射线相当于线段上的5个点，因此要求图中有多少个锐角可根据公式求解。OBCDEA例3、数一数下图中各有多少个三角形。ADOBCOADBCA'D'莱特1+1思维教育思维数学四年级课程8分析：前图中AD边上的每条线段与顶点O构成了一个三角形，也就是说AD边上有几条线段就构成了几个三角形；后图与前图相比，后图中多了一条线段''DA,三角形的个数应是AD和''DA上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。想一想下图中共有多少个三角形？例4、数一数图中有多少个长方形。BDCABDCA图1图2分析：数长方形与数线段的方法类似，图1中长方形的个数取决于AB或CD边上的线段；图2可以先算出AB边上的线段数，再把AB边上的每条线段作为长，AD边上的每条线段作为宽，每一个长配一个宽就组成长方形。例5、数一数图中有多少个正方形（每个小方格为边长是1的正方形）。分析：图中边长是1个单位长度的正方形有3×3=9（个），边长是2个单位长度的正方形有2×2=4（个），边长是3个单位长度的正方形有1×1=1（个）。所以图中的正方形总数为1×1+2×2+3×3=14（个）。经进一步分析可以发现，有相同的n×n个小方格组成的n行n列的正方形其中的小正方形总数为：1×1+2×2+3×3+…+n×n。例6从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票中有多少种不同的票价？分析：这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+8+9=45（条）线段，因此，要准备45种不同的车票，由于这些车站之间的距离各不相同，因此，有多少种不同的车票，就