2017年高考一轮复习之双曲线

基础诊断考点突破课堂总结第6讲双曲线基础诊断考点突破课堂总结最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).基础诊断考点突破课堂总结知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线.这两个叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)若时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为；(3)若时，则集合P为空集.定点两条射线acac基础诊断考点突破课堂总结2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形基础诊断考点突破课堂总结性质范围x≥a或x≤－a，y∈R对称性对称轴：；对称中心：顶点A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝x∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)y＝±abxcaa2＋b2基础诊断考点突破课堂总结诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()××√√基础诊断考点突破课堂总结2.若实数k满足0k9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y29＝1的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等解析由0k9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由25＋9－k＝25－k＋9，得两双曲线的焦距相等，选A.答案A基础诊断考点突破课堂总结3.(2015·湖南卷)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53解析双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线方程为y＝±bax，则点(3，－4)在直线y＝－bax上，即－4＝－3ba，所以4a＝3b，即ba＝43，所以e＝1＋b2a2＝53.故选D.答案D基础诊断考点突破课堂总结4.(2015·全国Ⅱ卷)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为________.解析根据渐近线方程为x±2y＝0，可设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0).因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x24－y2＝1.答案x24－y2＝1基础诊断考点突破课堂总结5.(人教A选修1－1P54A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.解析设双曲线的方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为x28－y28＝1.答案x28－y28＝1基础诊断考点突破课堂总结考点一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.(2)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为____________.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1).基础诊断考点突破课堂总结(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4，0).由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9.答案(1)x2－y28＝1(x≤－1)(2)9基础诊断考点突破课堂总结规律方法双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(1)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45(2)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.x242－y232＝1B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D.x2132－y2122＝1基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝2，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝22，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝34.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8＜10＝|F1F2|.由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为x242－y232＝1.答案(1)C(2)A基础诊断考点突破课堂总结考点二双曲线的标准方程的求法【例2】(1)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.x24－y212＝1B.x27－y29＝1C.x28－y28＝1D.x212－y24＝1(2)(2016·沈阳四校联考)设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝bax，因此可得点A的坐标为(a，b).设右焦点为F(c，0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝c2＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.(2)法一椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，基础诊断考点突破课堂总结法二椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3).设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则a2＋b2＝9，又点(15，4)在双曲线上，所以16a2－15b2＝1，解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的方程为y24－x25＝1.法三设双曲线的方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27λ36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去).故所求双曲线方程为y24－x25＝1.答案(1)A(2)y24－x25＝1基础诊断考点突破课堂总结规律方法求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)(2015·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()A.x29－y213＝1B.x213－y29＝1C.x23－y2＝1D.x2－y23＝1基础诊断考点突破课堂总结(2)(2016·郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为()A.x29－y227＝1B.y29－x227＝1C.y212－x224＝1D.y224－x212＝1基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，因为双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，所以|2b|a2＋b2＝3，由双曲线的一个焦点为F(2，0)可得a2＋b2＝4，所以|b|＝3，即b2＝3，所以a2＝1，故双曲线的方程为x2－y23＝1，故选D.基础诊断考点突破课堂总结(2)∵x2＝24y，∴焦点为(0，6)，∴可设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0).∵渐近线方程为y＝±abx，其中一条渐近线的倾斜角为30°，∴ab＝33，c＝6，∴a2＝9，b2＝27.其方程为y29－x227＝1.答案(1)D(2)B基础诊断考点突破课堂总结考点三双曲线的几何性质【例3】(1)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A.3x±4y＝0B.3x±5y＝0C.4x±3y＝0D.5x＋4y＝0(2)(2015·山东卷)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝（2c）2－（2a）2＝2b，故|PF1|＝4b，根据双曲线的定义4b－2c＝2a，即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝±bax，即4x±3y＝0.(2)如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a代入x2a2－y2b2＝1中，得y2＝3b2，不妨令点P的坐标为(2a，－3b)，基础诊断考点突破课堂总结此时kPF2＝3bc－2a＝ba，得到c＝(2＋3)a，即双曲线C的离心率e＝ca＝2＋3.答案(1)C(2)2＋3规律方法(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba满足关系式e2＝1＋k2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝ca转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值