浅谈数学中的归纳推理

浅谈数学方法中的归纳推理新河镇中学孙建辉摘要近年来，随着素质教育的推进，对提高学生能力的要求越来越受到重视，在数学教育方面，强调体验教学，注重过程教学已成为一个大趋势。于是更多的教师在教学中渗透一些数学思想与数学方法的知识，这对于提高学生解题能力起到了很好的作用。数学归纳推理的设计与实施作为素质教育背景下数学课改的重要内容，其运用与学习贯穿于小学数学教学的整个阶段。本文在梳理一般数学方法的基础上，提出数学方法与数学思想的对应关系，浅要分析数学方法中的归纳推理，最后以小学数学中的“鸡兔同笼”问题对归纳推理的应用进行实例验证。关键词：数学思想数学方法归纳推理引言有人将科学的基本学科分为哲学、语文、数学三种。其中，哲学是为人类解决生存的问题，帮助人们树立正确的世界观与人生观；语文是人类交流的工具，解决人的社会化生活以及精神心理生活所需；数学是为了解决提高生存质量的问题，通过数量、空间，有限与无限的关系，帮助人类获得质量优化的生活。可见，数学已经成为人类生活中最基本的一种理性工具。数学学什么？方法和思想。在初中数学学习过程中，通过对所学知识的掌握、理解以及应用，处处体现了数学的基本方法和思想1。一、数学思想与数学方法“数学思想”一词，在数学教育、数学教学领域已被广泛使用。对于什么是数学思想方法，数学家和数学教育工作者有诸多论述。概括起来，大家通常是从“数学思想”和“数学方法”两个角度进行阐述的。数学思想是对数学对象的本质认识，是从某些具体的数学内容（如概念、命题、规律）和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想2。数学方法是指数学活动中所采用的各种方式、手段途径、策略等。其实单纯的数学思想是十分抽象的，它源于哲学中的方法论，是哲学思想的数学化。对于中学数学中常用的数学思想方法，概括起来，可以分为两类。1夏中仁．数学教学中的分类思想[J];数学大世界（教师使用）;2010年第5期2钱珮玲．数学思想方法与中学数学．北京：北京师范大学出版社，2008：4-6，14-17一类是科学思想在数学中的应用，如分类讨论、分析与综合、归纳与演绎、类比、化归思想等；另一类是数学学科特有的思想方法，如符号与变元表示、模型化、集合与对应、公理化与结构化、数形结合、函数与方程、极限、算法与程序化、概率统计的思想方法等等。数学思想方法的学习和领悟能使学生所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助学生形成有序的知识链，建立良好的认知结构；它是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，是使学生提高数学思维水平，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的保证。因此必须重视数学思想方法的教学。在初中数学教学中，数学思想方法的教学可分为三个层次：渗透、介绍和突出。渗透，就是要在具体的数学知识的教学中，融进某些抽象的数学思想方法，使学生对这些思想方法有一些初步的感觉或直觉。例如，对于集合与对应、公理化与结构化、极限、算法与程序化的思想方法等。介绍，就是要把某些数学思想方法在适当时候引进到数学知识中，使学生对这些思想方法由初步的理解，有一定的理性认识。例如，对符号与变元表示、模型化、数形结合、函数与方程、概率统计、分类、化归的思想方法等。突出，就是要在介绍的基础上经常性地予以强调，使学生能加以运用。初中数学教学中要突出的有数形结合、函数与方程、化归的思想方法等。当然，随着学生学习的不断深入，对数学思想方法的要求也是不断深入的。例如算法的思想方法在初中阶段可以结合解方程（组）等进行“渗透”，到了高中就要求是“介绍”甚至“突出”的层次了。二、数学方法中的归纳推理数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法3。每种数学方法都体现着一种数学思想，并且都是解决某类特定数学问题的最佳方法，这就要求我们数学从业者应以全面、辨证的眼光看待每一种方法及其适用性。下面着重对逻辑推理中的归纳推理进行浅要分析。归纳推理是归纳逻辑的基本内容，它是从个别性质推出一般性知识的推理，它分为完全归纳推理和不完全归纳推理4。这种推理属于合情推理和放大性推理，其中不完全归纳推理的前提与结论的联系是或然的。然而它们是探求新知识的重要方法。归纳推理对我们认识生活，科研创新等等有很大帮助。从本质上讲，数学推理的模式与逻辑学中一样，有两种：即演绎推理和归纳推理。演绎推理，是按照某些规定法则进行的、前提与结论之间有着必然关系的推理。归纳推理则指按照某些法则进行的、前提与结论之间有着或然联系的推理。从本质上讲，归纳推理是从经验过的东西推断未曾经验过的东西，从事物的过去和现在推断事物的未来。归纳推理，是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理，是一种基于推断的推理。归纳推理包括归纳法、类比法、简单枚举法、数据分析等等，因此，通过归纳推理得到的结论是或然的。人们借助归纳推理，从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西，通过事物的现在推测它的将来或者过去，或者根据事物的过去和现在推3王丽香.在初中数学教学中渗透数学思想和数学方法[J];网络科技时代;2007年16期4南开大学哲学系逻辑学研究室编著：《逻辑学基础教程（第二版）》152页；南开大学出版社；2008-07断它的将来。很多数学结论，都是先通过归纳推理先得到的结果，再辅以演绎推理加以证明。比如，费马达定理、庞加莱猜想等，几百年前就被发现了结论，到上世纪末本世纪初才被数学界证明了。很多数学家都认为，数学结论是看出来的，而不是证出来的，看出的数学结果不一定是正确的，但指引了数学研究的方向；而且，看的过程表现出很大的创造性，这正是数学不断创造新成果的一种重要方式。尽管归纳推理和演绎推理相互依存，密不可分，但在推理基础、思维形式和目标上却存在较大区别。演绎推理是基于“理念”“形式”的推理，而归纳推理是追求“实用”的推理；演绎推理是范围从大到小的推理，而归纳推理则是范围从小到大的推理。就数学的结果而言，借助归纳推理预测数学结果或者推测原因；而人们借助演绎推理证明数学结果或者构建学科知识体系。归纳推理是为了推断的推理，演绎推理是为了证明的推理，两者结合起来，贯穿了数学推理的全部过程。三、例谈归纳推理在教案中的应用归纳推理在数学研究中体现的非常多。比如高斯曾说：在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳可萌发出极为漂亮的新的真理。欧拉则认为：今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的……这类知识是通常所说的用归纳所获得的。在小学数学中，使用最多的归纳推理是简单枚举推理（也叫做不完全归纳推理），即从一些个别或者特殊事物出发，概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。从某种程度上讲，小学数学的知识都建立在简单枚举推理的基础之上，因此，我们在教学中要重视简单枚举推理的教学，要引导学生进行充分想象与联想，根据已有的知识经验去发现数学的新结论、新方法。对于“鸡兔同笼“的教学，就可以采用简单枚举的形式，让学生体验归纳推理的全过程。案例分析过程：①首先，教师呈现问题：②引导学生分析题目隐含的条件：③化难为易，寻找规律：④通过列表，进入归纳推理：头数鸡（只）兔（只）腿数鸡问题：鸡和兔同在一个笼子里，数一数一共有35个头94只脚，问鸡和兔各有多少只？鸡引导：一只鸡有一个头两只脚，一只兔子有一个头四只脚。如何解决这个问题呢？1.如果，鸡兔共6只，共有22条腿，尝试猜测一下鸡/兔各有多少只？2.鸡兔共六只不变，腿数变为20条腿，鸡兔各几只？你是如何猜出来的？3.鸡兔共六只不变，鸡兔的只数还有其他情况吗？腿数还有其他情况吗？6152262420633186421665114通过列表，学生可以归纳出，每增加一只兔子（用一只兔子换一只鸡），脚的数目增加2，怎么才能从70增加到94呢？比较自然的方法有两种：一种是沿用刚才的思路一直写下去，兔子的数目为（94-70）/2=12，鸡的个数为35-12=23时，刚好23×2+12×4＝94。对于“鸡兔同笼”问题，这种授课/解答方法可能不是最佳方法，但是在说明归纳推理的应用方面，却是很充分的。四、小结。如何更好地运用归纳推理前文我们谈到，就数学而言，归纳推理是为了推断的推理，有助于发现数学结论，演绎推理是为了充足理由的论证，有助于我们证明结论，夯实基础。所以数学教学中，两种推理方式都应该受到重视，不可有所偏废。这样把两者结合起来，就构成了数学上具有极强逻辑性与严密性的推理过程。1、归纳推理首先要做到举例典型、全面虽然数学教学中用到的归纳方法，是不完全归纳法，是根据这类事物的部分队形具有的性质来推断这类事物都具备这种性质，用不完全归纳法得出的结论不一定正确，还有待严格的证明。但是，不完全归纳发比较适合中学前的年龄特点，便于接受。因此，在数学教学中经常应用这种形式来体现归纳推理的。在教学时，一要保证结论的正确性，这是归纳推理的前提，前提不正确，归纳就失去了意义；二要给学生提供的部分对象尽可能的多，至少三个，切忌仅仅通过一两个特例，让学生发现归纳其中的“规律”，这样的结论在严格意义上讲，是不具有规律性的。2、归纳前的探索过程应充分展开现在的数学教学特别强调过程与结果的统一。所谓“过程教学”就是让学生自己探索问题的解决方法，而不一定是通过讲故事/讲道理分析出答案的。通过“道理”直接列出相应公司进行诠释，自然是好的，但通过有规律的计算寻求规律是得到一般结论的有效手段，特别是能够帮助学生更直观地理解“道理”。教师在讲课的时候，最后放下“身段”，可以与学生一起探索尝试，这是归纳推理的手法，也是我们过去传统教学方法中极易忽视的地方。所以，我们在教学时，要从简单情况开始，引导观察，对问题进行由浅入深分析，同时能够配合表格/抽象等工具进行逻辑加工，让学生体会规律探索的乐趣。3、归纳推理应注重思辨验证归纳推理是一个探索过程，同时是发现数学规律或解决方法的重要途径。但是，值得注意的是，我们在探索预测可能得到的结果的前提下，还需要从已经得到的“规律”去验证结果形成的原因，这一过程对学生而言，尽管不是严格的的证明过程，但对其思维过程来说却是一种飞跃。我们应及时对探索推断出来的“规律”进行回顾反思，验证其正确性，从而做到归纳方法的优化，提高学生对事物的认识及训练其辨证看待问题的思维。