线性代数历年考研试题之计算题与证明题

线性代数历年考研试题精解-40-三、计算题与证明题1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)问,ab为何值时,线性方程组123423423412340,221,(3)2,321xxxxxxxxaxxbxxxax有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.【考点】非齐次线性方程组解的理论的应用.解方法一:11110012210010100010rBAbaba.(1)当()41RAa时,方程组有惟一解;(2)当1a时,方程组无解或无穷多解,此时11110012210000100000rBAbb.①当1b时,()()24RARB,方程组有无穷多解;此时10111012210000000000rBAb,方程组的通解为1212111221,,100010xkkkk为任意常数;②当1b时,()2,()3RARB,方程组无解.综上可得:(1)当1a时,方程组有惟一解;(2)当1,1ab时,方程组有无穷多解;(3)当1,1ab时,方程组无解.线性代数历年考研试题精解-41-方法二:方程组的系数行列式2(1)Aa.(1)当2(1)1Aaa时,方程组有惟一解;(2)以下同方法一.【注意】(1)含有参数的线性方程组的解的讨论都是用方法一或方法二解决.但方法一具有普遍性,即这类问题都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用范围是:①方程的个数等于未知数的个数;②方程组的系数行列式含参数.(2)求解这类问题的关键点是先讨论方程组有惟一解的情形,再讨论无解或无穷多解.切记切记.2.(1987—Ⅱ;1990—Ⅳ)设A为n阶矩阵,1和2是A的两个不同的特征值;12,xx是分别属于1和2的特征向量,试证明12xx不是A的特征向量.【考点】特征值的定义,性质及向量组线性相(无)关的定义.解反证法:假设12xx是A的特征向量,则存在数,使得1212()()Axxxx,则1122()()0xx.因为12,所以12,xx线性无关,则112200.矛盾.【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关.3.(1987—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵A和B满足关系式2ABAB,其中423110123A,求矩阵B.【考点】解矩阵方程.解由12(2)BABBAEA1434233861531102961641232129.4.(1987—Ⅳ,Ⅴ)解线性方程组12341341231342434,3,31,7733.xxxxxxxxxxxxx【考点】求解非齐次线性方程组.线性代数历年考研试题精解-42-解21434101031011301208(|)31101000167073300000rBAb.由()()34RARB,得方程组有无穷多解.方程组的解132333286xxxxx,令3xk得方程组的通解12343182,0160xxkkxx为任意常数.5.(1987—Ⅳ,Ⅴ)求矩阵312014101A的实特征值及对应的特征向量.【考点】求矩阵的特征值及特征向量.解2(1)(45)AE,得A的实特征值1.解()0AEx得其对应的特征向量021xk,其中k为不为零的任意常数.6.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知APPB,其中100100000,210001211BP,求A及5A.【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂.解1100200611APPBAPBP.5511APBPPBPA.【注意】若1APBP,则1kkAPBP;一般地,设10()mmxaxaxa,则方阵A的多项式110()()mmAaAaAaEPBP.线性代数历年考研试题精解-43-7.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知矩阵20000101Ax与20000001By相似:(1)求x与y;（2）求一个满足1PAPB的可逆矩阵P.【考点】相似矩阵的性质及一般矩阵的对角化方法.解(1)方法一:A与B相似,则AEBE,即22(2)(1)(2)((1))xyy,比较系数,得1011xyxyy.方法二:B的特征值为2,,1y.由A与B相似,则A的特征值为2,,1y.故2(1)2002(1)21yxxyAy.【注意】方法一具有一般性;方法二具有特殊性(为什么?)如果利用方法二得到的不是惟一解,则方法二失效.但方法二比较简单,建议:做填空题与选择题时用方法二,做解答题时用方法一.(2)分别求出A的对应于特征值1232,1,1的线性无关的特征向量为1231000,1,1011ppp.令可逆矩阵123100011011Pppp,则1PAPB.8.(1988—Ⅳ)设3阶方阵A的伴随矩阵为*A,且21A,求*12)3(AA.【考点】矩阵运算的性质.解1*11112(3)2233AAAAAA,所以1*131228116(3)2()332727AAAAA.或*1*1***114(3)222333AAAAAAAA,则线性代数历年考研试题精解-44-311**3*446416(3)2()332727AAAAA.【注意】求解此类问题,一般是将行列式中的式子先化简,再求行列式.此处用到矩阵的如下性质:111(),0kAAkk;*11*11*1;;;.nAAAAAAAAAA9.(1988—Ⅳ,Ⅴ)设向量组)2(,,,21ss线性无关,且1322211,,,s11,ssss，讨论向量组s,,,21的线性相关性.【考点】向量组的线性相关性的判别方法.解方法一:设11220ssxxx,即111221()()()0ssssxxxxxx.因为12,,,s线性无关,则1121000sssxxxxxx,其系数行列式110001110001(1)0110000011sA.(1)当s为奇数,20A,方程组只有零解,则向量组s,,,21线性无关;(2)当s为偶数,0A,方程组有非零解,则向量组s,,,21线性相关.方法二:显然1212121000111000(,,,)(,,,)(,,,)0110000011sssssK,因为12,,,s线性无关,则1212(,,,)min{(,,,),()}()ssRRRKRK(1)1()1(1)0sRKsKs为奇数时,12(,,,)sRs,则向量组线性代数历年考研试题精解-45-s,,,21线性无关;(2)1()1(1)0sRKsKs为偶数时,12(,,,)sRs,则向量组s,,,21线性相关.【注意】(1)已知12,,,m可由12,,,m线性表示的具体表达式,且12,,,m线性无关时,用方法二求解一般较简便.(2)若B可逆,则()()RABRA.一般地()min{(),()}RABRARB,即乘积矩阵的秩不小于每一个因子的秩.10.(1988—Ⅳ,Ⅴ)设线性方程组为243214312143214321121053153363132kxxxxxxkxxxxxxxxxx,问1k与2k各取何值时,方程组无解?有惟一解?有无穷多解?有无穷多解时,求其一般解.【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解方法一:(一般情形)112211231112311361301212(|)311530022415101200035rBAbkkkk.(1)当11()()4202RARBkk时,方程组有惟一解;(2)当12k时,211231012120001200001rBk,则①当21k时,()3()4RARB,方程组无解;②当21k时,()()34RARB,方程组有无穷多解,且10008012030001200000rB,则通解(一般解)为线性代数历年考研试题精解-46-12348032,0120xxkkxx为任意常数.*综上:当12k时,方程组有惟一解;当12k且21k时,方程组无解;当12k且21k时,方程组有无穷多解,且一般解为*式.方法二:(特殊情形)方程组的系数行列式16(2)Ak.(1)当116(2)02Akk时,方程组有惟一解;以下同方法一.11.(1988—Ⅴ)已知n阶方阵A满足矩阵方程2320AAE.证明A可逆,并求出其逆矩阵1A.【考点】抽象矩阵是求逆.解由23202AEAAEAEA可逆,且12AEA.12.(1989—Ⅰ,Ⅱ)问为何值时,线性方程组13123123,422,6423xxxxxxxx有解,并求出解的一般形式.【考点】含参数的非齐次线性方程组解的讨论及非齐次线性方程组的求解.解101101412201232614230001rBAb.线性方程组有解()()RARB101,其通解为1121,11xkk为任意常数.13.(1989—Ⅰ,Ⅱ)假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明:(1)1为1A的特征值;(2)A为A的伴随矩阵*A的特征值.【考点】特征值的概念.证(1)设A对应于特征值的特征向量为x,则011111()()AxxAAxAxAxxAxx.线性代数历年考研试题精解-47-(2)0****()()AAxxAAxAxAxAxAxx.14.(1989—Ⅳ,Ⅴ)已知BAXX,其中350211,101111010BA,求矩阵X.【考点】解矩阵方程.解102111311()321202030115311XEAB.15.(1989—Ⅳ)设),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t.（1）问当t为何值时,向量组321,,线性无关?（2）问当t为何值时,向量组321,,线性相关?（3）当向量组321,,