2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案(最完整版)

162第一届(2009)全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=−−++∫∫yxyxxyyxDdd1)1ln()(，其中区域D由直线1=+yx与两坐标轴所围成三角形区域。2．设)(xf是连续函数，且满足∫−−=2022d)(3)(xxfxxf,则=)(xf；3．曲面2222−+=yxz平行平面022=−+zyx的切平面方程是；4．设函数)(xyy=由方程29ln)(yyfexe=确定，其中f具有二阶导数，且1≠′f，则=22ddxy。二、（本题满分5分）求极限xenxxxxneee)(lim20+++→，其中n是给定的正整数。三、（本题满分15分）设函数)(xf连续，∫=10d)()(txtfxg，且Axxfx=→)(lim0，A为常数，求)(xg′并讨论)(xg′在0=x处的连续性。四、（本题满分15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=yxyxD，L为D的正向边界，试证：（1）∫∫−=−−−LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddπ∫≥−−Lyyxyeyxe。五、（本题满分10分）已知xxexey21+=，xxexey−+=2，xxxeexey−−+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。六、（本题满分10分）设抛物线cbxaxyln22++=过原点。当10≤≤x时,0≥y,又已知该抛物线与x轴及直线1=x所围图形的面积为31。试确定cba,,,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积昀小。七、（本题满分15分）已知)(xun满足),2,1()()(1=+=′−nexxuxuxnnn,且neun=)1(,求函数项级数∑∞=1)(nnxu之和。八、（本题满分10分）求−→1x时,与∑∞=02nnx等价的无穷大量。163第一届(2010)全国大学生数学竞赛决赛试卷一、计算题（每小题5分，共20分）1．求极限121lim(1)sinnnkkknnπ−→∞=+∑。2．计算2222()axdydzzadxdyxyz∑++++∫∫，其中∑为下半球面222zayx=−−−的上侧，0a。3．现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器。已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b元。试给出昀节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用昀少？4．已知()fx在11(,)42内满足331()sincosfxxx′=+，求()fx。二、求下列极限（每小题5分，共10分）1．1lim1nnnen→∞⎛⎞⎛⎞+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；2．111lim3nnnnnabc→∞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠,其中0,0,0abc。三、（本题满分10分）设()fx在1x=点附近有定义，且在1x=点可导，(1)0,(1)2ff′==，求220(sincos)limtanxfxxxxx→++。四、（本题满分10分）设()fx在[0,)+∞上连续，无穷积分0()fxdx∞∫收敛。求01lim()yyxfxdxy→+∞∫。五、（本题满分12分）设函数()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且1(0)(1)0,()12fff===。证明：(1)存在1(,1)2ξ∈使得()fξξ=；(2)存在(0,)ηξ∈使得()()1ffηηη′=−+。六、（本题满分14分）设1n为整数，20()1...1!2!!nxttttFxedtn−⎛⎞=++++⎜⎟⎝⎠∫。证明：方程()2nFx=在(,)2nn内至少有一个根。七、（本题满分12分）是否存在1R中的可微函数()fx使得2435(())1ffxxxxx=++−−？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。八、（本题满分12分）设()fx在[0,)∞上一致连续，且对于固定的[0,)x∈∞，当自然数164n→∞时()0fxn+→。证明：函数序列{():1,2,...}fxnn+=在[0,1]上一致收敛于0。第二届(2010)全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共25分）1.设22(1)(1)(1),nnxaaa=+++其中||1,a求lim.nnx→∞。2.求21lim1xxxex−→∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠。3.设0s，求0(1,2,)sxnIexdxn∞−==∫。4.设函数()ft有二阶连续导数，221,(,)rxygxyfr⎛⎞=+=⎜⎟⎝⎠，求2222ggxy∂∂+∂∂。5.求直线10:0xylz−=⎧⎨=⎩与直线2213:421xyzl−−−==−−的距离。二、（本题满分15分）设函数()fx在(,)−∞+∞上具有二阶导数，并且()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfxαβ→+∞→−∞′′′′==且存在一点0x，使得0()0fx。证明：方程()0fx=在(,)−∞+∞恰有两个实根。三、（本题满分15分）设函数()yfx=由参数方程22(1)()xtttytψ⎧=+−⎨=⎩所确定，且2234(1)dydxt=+，其中()tψ有二阶导数，曲线()ytψ=与22132tuyedue−=+∫在1t=出相切，求函数()tψ。四、（本题满分15分）设10,,nnnkkaSa==∑证明：（1）当1α时，级数1nnnaSα+∞=∑收敛；（2）当1α≤且()nsn→∞→∞时，级数1nnnaSα+∞=∑发散。五、（本题满分15分）设l是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221xyzabc++≤，其中（0,cba密度为1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的昀大值和昀小值。165六、(本题满分15分)设函数()xϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分422()cxydxxdyxyϕ++∫的值为常数。（1）设L为正向闭曲线22(2)1,xy−+=证明422()0;cxydxxdyxyϕ+=+∫（2）求函数()xϕ；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()cxydxxdyxyϕ++∫。第二届(2011)全国大学生数学竞赛决赛试卷一、计算下列各题（每题5分，共15分）1.求11cos0sinlimxxxx−→⎛⎞⎜⎟⎝⎠；2.求111lim...12nnnnn→∞⎛⎞+++⎜⎟+++⎝⎠；3.已知()2ln1arctanttxeyte⎧=+⎪⎨=−⎪⎩，求22dydx。二、（本题满分10分）求方程()()2410xydxxydy+−++−=的通解。三、（本题满分15分）设函数()fx在=0x的某邻域内具有二阶连续导数，且(0),(0),(0)fff′′′均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,kkk，使得()()()()12320230lim0hkfhkfhkfhfh→++−=。四、（本题满分15分）设2221222:1xyzabcΣ++=，其中0abc，2222:zxyΣ=+，Γ为1Σ与2Σ的交线，求椭球面1Σ在Γ上各点的切平面到原点距离的昀大值和昀小值。五、（本题满分16分）已知S是空间曲线22310xyz⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z≥）取上侧，Π是S在(),,Pxyz点处的切平面，(),,xyzρ是原点到切平面Π的距离，,,λμν表示S的正法向的方向余弦。计算：（1）(),,SzdSxyzρ∫∫；（2）()3SzxyzdSλμν++∫∫。166六、（本题满分12分）设()fx是在(,)−∞+∞内的可微函数，且()()fxmfx′，其中01m。任取实数0a，定义1ln(),1,2,nnafan−==，证明：11()nnnaa+∞−=−∑绝对收敛。七、（本题满分15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()fx，满足()()021ff==，()1fx′≤，20()1fxdx≤∫？请说明理由。第三届（2011）全国大学生数学竞赛预赛试卷一、计算题（满分24分，每小题6分）1.()()22011ln1limxxxexx→+−−+⎡⎤⎣⎦.2.设2coscoscos222nnaθθθ=⋅，求limnna→∞.3.求()sgn1Dxydxdy−∫∫，其中(){},02,02Dxyxy=≤≤≤≤.4.求幂级数221212nnnnx∞−=−∑的和函数，并求级数211212nnn∞−=−∑的和.二、（本题满分16分，每小题8分）1.如果limnnaa→∞=，则12limnnaaaan→∞++=；2.如果存在正整数p，使得()limnpnnaaλ+→∞−=，limnnanpλ→∞=.三、（本题满分15分）设函数()fx在闭区间[]1,1−上具有连续的三阶导数，且()()()10,11,'00fff−===，求证：在开区间()1,1−内至少存在一点0x，使得()0'''3fx=.四、（本题满分15分）在平面上，有一条从点(),0a向右的射线，线密度为ρ，在点()0,h处（其中0h）有一质量为m的质点，求射线对该点的引力.五、（本题满分15分）设(),zzxy=是由方程11,0Fzzxy⎛⎞+−=⎜⎟⎝⎠确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，求证：()2222233220,0zzzzzxyxxyxyyxxxxyy∂∂∂∂∂+=+++=∂∂∂∂∂∂.六、（本题满分15分）设函数()fx连续，,,abc为常数，Σ是单位球面2221xyz++=，167记第一型曲面积分()IfaxbyczdSΣ=++∫∫.求证：()122212Ifuabcduπ−=++∫.第三届（2012）全国大学生数学竞赛决赛试卷一、计算下列各题（本题满分30分，每小题6分）(1)222220sincoslimsinxxxxxx→−(2)[()]13611limtan12xxxxexx→+∞+−−+(3)设函数(,)fxy有二阶连续偏导数,满足2220xyyxyxyyyyfffffff−+=且0yf≠,(,)yyxz=是由方程(,)zfxy=所确定的函数.求22yx∂∂(4)求不定积分()111xxIxedxx+=+−∫(5)求曲面22xyaz+=和222zaxy=−+(0)a所围立体的表面积二、（本题满分13分）讨论220cossinxdxxxxα+∞+∫的敛散性，其中α是一个实常数.三、（本题满分13分）设()fx在(,)−∞+∞上无穷次可微，并且满足:存在0M，使得()()kfxM≤，(,)x∀∈−∞+∞，(1,2,)k=,且1()02nf=，(1,2,)n=求证：在(,)−∞+∞上，()0fx≡四、（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）设D为椭圆形22221xyab+≤(0)ab，面密度为ρ的均质薄板；l为通过椭圆焦点(,0c−）(其中222cab=−)垂直于薄板的旋转轴.1.求薄板D绕l旋转的转动惯量J；2.对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有昀大值和昀小值.五、（本题满分12分）设连续可微函数(,)zfxy=由方程(,)0Fxzyxyz−−=（其中(,)0Fuv=有连续的偏导数）唯一确定,L为正向单位圆周.试求：22(2)(2)LIxzyzdyxzyzdx=+−+∫六、（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）168(1)求解微分方程2(0)1xyxyxey⎧′−=⎪⎨=⎪⎩(2)如()yfx=为上述方程的解，证明1220lim()12nnfxdxnxπ→∞=+∫第四届（2012）全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（本题满分30分，每小题6分）1.求极限()21lim!nnn→∞；2.求通过直线2320:55430xyzLxyz+−+=⎧⎨+−+=⎩的两个相互垂直的平面12,ππ，使其中一个平面过点()4,3,1−；3.已知函数()2,,0axbyuzuxyexy+∂==∂∂且，确定常数ab和，使得函数(),zzxy=满足方程20zzzzxyxy∂∂∂−−+=∂∂∂∂；4.设函数()uux=连续可微，()21u=，且()()32xyudxxuudy+++∫在右半平面上与路径无关，求()u