非线性回归方程经典题型-打印

第1页，共21页非线性回归方程经典题型一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1.一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：温度𝑥/∘𝐶212324272932产卵数𝑦/个61120275777经计算得：𝑥=16∑𝑥𝑖6𝑖=1=26，𝑦=16∑𝑦𝑖6𝑖=1=33，∑(6𝑖=1𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)=557，∑(6𝑖=1𝑥𝑖−𝑥)2=84，∑(6𝑖=1𝑦𝑖−𝑦)2=3930，线性回归模型的残差平方和∑(6𝑖=1𝑦𝑖−𝑦^𝑖)2=236.64，𝑒8.0605≈3167，其中𝑥𝑖，𝑦𝑖分别为观测数据中的温度和产卵数，𝑖=1，2，3，4，5，6．(Ⅰ)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程𝑦=𝑏𝑥+𝑎(精确到0.1)；(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为𝑦^=0.06𝑒0.2303𝑥，且相关指数𝑅2=0.9522．(𝑖)试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用𝑅2说明哪种模型的拟合效果更好．(𝑖𝑖)用拟合效果好的模型预测温度为35∘𝐶时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数)．附：一组数据(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，…，(𝑥𝑛,𝑦𝑛)，其回归直线𝑦^=𝑏^𝑥+𝑎^的斜率和截距的最小二乘估计为𝑏^=∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥)2，𝑎^=𝑦−𝑏^𝑥；相关指数𝑅2=1−∑(𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑦^𝑖)2∑(𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑦)2．2.对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①𝑦=𝑏𝑥+𝑎，②𝑦=𝑐𝑒𝑑𝑥拟合，得到回归方程分别为𝑦^(1)=0.24𝑥−8.81，𝑦^(2)=1.70𝑒0.022𝑥，作残差分析，如表：身高𝑥(𝑐𝑚)60708090100110体重𝑦(𝑘𝑔)6810141518𝑒^(1)0.410.011.21−0.190.41𝑒^(2)−0.360.070.121.69−0.34−1.12(Ⅰ)求表中空格内的值；(Ⅱ)根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；(Ⅲ)残差大于1kg的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对(Ⅱ)所选择的模型重新建立回归方程．(结果保留到小数点后两位)附：对于一组数据(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，…(𝑥𝑛,𝑦𝑛)，其回归直线𝑦=𝑏𝑥+𝑎的斜率和截距的最小二乘法估计分别为𝑏^=∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥)2，𝑎^=𝑦.−𝑏^𝑥.．第2页，共21页3.某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量𝑦(𝑔)与尺寸𝑥(𝑚𝑚)之间近似满足关系式𝑦=𝑐⋅𝑥𝑏(𝑏、c为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(𝑒9,𝑒7)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸𝑥(𝑚𝑚)384858687888质量𝑦(𝑔)16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比𝑦𝑥0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求恰有一件优等品的概率；(2)根据测得数据作出如下处理：令𝑣𝑖=ln𝑥𝑖，𝑢𝑖=ln𝑦𝑖，得相关统计量的值如下表：∑𝑣𝑖6𝑖=1𝑢𝑖∑𝑣𝑖6𝑖=1∑𝑢𝑖6𝑖=1∑𝑣𝑖26𝑖=175.324.618.3101.4(ⅰ)根据所给统计量，求y关于x的回归方程；(ⅰ)已知优等品的收益𝑧(单位：千元)与x，y的关系为𝑧=2𝑦−0.32𝑥，当优等品的质量与尺寸之比为𝑒8时，求其收益的预报值.(精确到0.1)附：对于样本(𝑣𝑖,𝑢𝑖)(𝑖=1,2，…，𝑛)，其回归直线𝑢=𝑏⋅𝑣+𝑎的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：𝑏^=∑(𝑛𝑖=1𝑣𝑖−𝑣)∑(𝑛𝑖=1𝑣𝑖−𝑢)2=∑𝑣𝑖𝑛𝑖=1𝑢𝑖−𝑛𝑣𝑢∑𝑣𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑣2，𝑎^=𝑢−𝑏^𝑣，𝑒≈2.7182．4.某公司为评估两套促销活动方案(方案1运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件)，在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种促销活动方案)，运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，制作相应的等高条形图如图所示．(1)请根据等高条形图提供的信息，为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由)；(2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用)，为制定本年度该地区的产品销售价格，统计上一年度的8组售价𝑥𝑖(单位：元/件，整数)和销量𝑦𝑖(单位：件)(𝑖=1，2，…，8)如下表所示：售价x3335373941434547销量y840800740695640580525460①请根据下列数据计算相应的相关指数𝑅2，并根据计算结果，选择合适的回归模型进行拟合；②根据所选回归模型，分析售价x定为多少时？利润z可以达到最大．𝑦^=−1200ln𝑥+5000𝑦^=−27𝑥+1700𝑦^=−13𝑥2+1200∑(8𝑖=1𝑦𝑖−𝑦^𝑖)249428.7411512.43175.26∑(8𝑖=1𝑦𝑖−𝑦.)2124650(附：相关指数𝑅2=1−∑(𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑦^𝑖)2∑(𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑦)2)第3页，共21页5.二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格𝑦(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数x234567售价y201286.44.43𝑧=ln𝑦3.002.482.081.861.481.10下面是z关于x的折线图：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关数加以说明；(2)求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？(𝑏^、𝑎^小数点后保留两位有效数字)．(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程𝑦^=𝑏^𝑥+𝑎^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：𝑏^=∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥)2=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑥2，𝑎^=𝑦.−𝑏^𝑥.，𝑟=∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)√∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥)2∑(𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑦)2．参考数据：∑𝑥𝑖6𝑖=1𝑦𝑖=187.4，∑𝑥𝑖6𝑖=1𝑧𝑖=47.64，∑𝑥𝑖26𝑖=1=139，√∑(6𝑖=1𝑥𝑖−𝑥.)2=4.18，√∑(6𝑖=1𝑦𝑖−𝑦.)2=13.96，√∑(6𝑖=1𝑧𝑖−𝑧.)2=1.53，ln1.46≈0.38，ln0.7118≈−0.34．6.为了调查历城区城乡居民人民生活水平，随机抽取了10个家庭，得到第𝑖(𝑖=1,2，…，10)个家庭月收入𝑥𝑖(单位：千元)与月流动资金𝑦𝑖(单位：千元)的数据资料如下表：∑𝑥𝑖10𝑖=1∑𝑦𝑖10𝑖=1∑𝜔𝑖10𝑖=1∑𝑥𝑖10𝑖=1𝑦𝑖∑𝜔𝑖10𝑖=1𝑦𝑖7202080196184其中𝜔𝑖=√𝑥𝑖，y与x满足函数模型𝑦=𝑑+𝑐√𝑥；(Ⅰ)求方程𝑦=𝑑+𝑐√𝑥；(Ⅱ)已知某家庭9月收入为9千元，该家庭计划用当月流动资金购置价格为499元的九阳豆浆机，问计划能否成功？附：对一组数据(𝑥𝑖,𝑦𝑖)(𝑖=1,2，…，10)，其回归直线𝑦=𝑏^𝑥+𝑎^的最小二乘法估计为𝑏=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛(𝑥)2，𝑎=𝑦.−𝑏𝑥.．第4页，共21页7.近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市场对2017年成交的二手车的交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计，得到如图1所示的频率分布直方图.在图1对使用时间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率．(1)若在该交易市场随机选取3辆2017年成交的二手车，求恰有2辆使用年限在(8,16]的概率；(2)根据该汽车交易市场往年的数据，得到图2所示的散点图，其中𝑥(单位：年)表示二手车的使用时间，𝑦(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．①由散点图判断，可采用𝑦=𝑒𝑎+𝑏𝑥作为该交易市场二手车平均交易价格y关于其使用年限x的回归方程，相关数据如下表(表中𝑌𝑖=ln𝑦𝑖，𝑌=110∑𝑌𝑖10𝑖=1)：𝑥𝑦𝑌∑𝑥𝑖10𝑖=1𝑦𝑖∑𝑥𝑖10𝑖=1𝑌𝑖∑𝑥𝑖210𝑖=15.58.71.9301.479.75385试选用表中数据，求出y关于x的回归方程；②该汽车交易市场拟定两个收取佣金的方案供选择．甲：对每辆二手车统一收取成交价格的5%的佣金；乙：对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的10%的佣金．假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量，根据回归方程和图表1，并用各时间组的区间中点值代表该组的各个值.判断该汽车交易市场应选择哪个方案能获得更多佣金．附注：①对于一组数据(𝑢1,𝑣1)，(𝑢2,𝑣2)，…，(𝑢𝑛,𝑣𝑛)，其回归直线𝑣=𝛼+𝛽𝑢的斜率和截距的最小二乘估计分别为𝛽^=∑𝑢𝑖𝑛𝑖=1𝑣𝑖−𝑛𝑢𝑣∑𝑢𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑢2,𝛼^=𝑣−𝛽^𝑢；②参考数据：𝑒2.95≈19.1，𝑒1.75≈5.75，𝑒0.55≈1.73，𝑒−0.65≈0.52，𝑒−1.85≈0.16．第5页，共21页8.近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：表1：x1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了散点图．(1)根据散点图判断，在推广期内，𝑦=𝑎+𝑏𝑥与𝑐⋅𝑑𝑥(𝑐,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表2：支付方式现金乘车卡扫码比例10%60%30%车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要𝑛(𝑛∈𝑁𝑛)年才能开始盈利，求n的值．参考数据：𝑦𝑣∑𝑥𝑖7𝑖=1𝑦𝑖∑𝑥𝑖7𝑖=1𝑢𝑖100.54661.542.71150.123.47其中其中𝜐𝑖=𝑙�