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2019年12月15日第二类拉格朗日方程及其应用第8章分析动力学第二类拉格朗日方程及其应用第8章目录第1节(8.3)第二类拉格朗日方程第2节(8.4)拉格朗日方程的首次积分第二类拉格朗日方程及其应用第8章回顾:达朗贝尔-拉格朗日原理设质系的质点Pi受主动力Fi的作用,质系的约束都是理想、双面约束,则可能运动ri=ri(t)是真实运动的充分必要条件是:1()δ0niiiiimFrr动力学普遍方程1.确定研究对象:整体2.受力分析:画出作功的主动力3.运动分析:分析加速度,用独立运动学参数表达4.给出虚位移,找出其间关系(几何法、等时变分法)5.根据达朗贝尔-拉格朗日原理,写出只包含独立虚位移和独立运动学参数的方程6.得到系统运动微分方程,并求解解题步骤牛顿定律第二类拉格朗日方程及其应用第8章回顾:虚位移原理及其三种表达1δ0NiiiFr1、具有理想约束的质点系平衡的充要条件是:主动力系在质点系的任意虚位移上的虚功等于零,即静力学普遍方程2、具有完整理想约束的质系平衡的充要条件是所有的广义力都等于零。1δδ0kjjjAQq0jQ10kjjjAQqV3、具有完整理想约束的质系,若所有主动力有势,则势能(广义坐标的函数)在平衡位置取驻值平衡的稳定性?0(1,...,)jVjkq,或V在孤立平衡位置取严格极小值第二类拉格朗日方程及其应用第8章广义坐标形式的达朗贝尔-拉格朗日原理理想完整约束系统:广义坐标为q1,q2,…,qN质点i向径:12(,,,,)iiNqqqtrr代入质系动力学普遍方程:110nniiiiiiimFrar1Niikkkqqrr111111nnNNniiiiikikkkiikkiNkkkqqqqQqrrFrFF1nikikiQqrF111nnNiiiiiikkiikmmqqrarr*kQ广义惯性力11Nkiikikniqmqrr第二类拉格朗日方程及其应用第8章广义坐标形式的达朗贝尔-拉格朗日原理理想完整约束系统:广义坐标为q1,q2,…,qN*10NkkkkQQq*0kkQQ完整系统广义主动力和广义惯性力之和为零!1()δ0niiiiimFrr动力学普遍方程1Niikkkqqrr1nikikiQqrF*1nikiikiQmqrr第二类拉格朗日方程及其应用第8章*1nikiikiQmqrr11ddddnniiiiiikkiimmtqtqrrrr问题:如何计算广义惯性力??第二类拉格朗日方程及其应用第8章拉格朗日关系式iikkqqrr221Niiijkjkkjqqqqtqrrrddiikkqtqrr12(,,,,)iiNqqqtrr1Niiijjjqqtrrr对t求全导kq对求偏导对qk求偏导1NiijjkkjqqqtqrrQ第二类拉格朗日方程及其应用第8章*1nikiikiQmqrr11ddddnniiiiiikkiimmtqtqrrrr11ddnniiiiiikkiimmtqqrrrr2211d11d22nniiiikkiimrmrtqqddkkTTtqqiikkqqrrddiikkqtqrr广义惯性力的能量表达第二类拉格朗日方程及其应用第8章d,1,2,,dkkkTTQkNtqq如主动力都是有势力:kkVQqddkkkTTVtqqq*0kkQQ*ddkkkTTQtqq第二类拉格朗日方程,0kVqd0,1,2,,dkkLLkNtqqL=T–V—拉格朗日函数,或动势主动力为势力时的第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程1nikikiQqrF理想完整约束系统第二类拉格朗日方程及其应用第8章针对理想完整约束系统拉格朗日方程的方程数等于质系自由度数(完整系统),是最少量方程不需要考虑理想约束的约束反力只需要分析速度,不需分析加速度拉格朗日方程的特点d0,1,2,,dkkLLkNtqqL=T–V—拉格朗日函数,或动势主动力为势力时的第二类拉格朗日方程d,1,2,,dkkkTTQkNtqq第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程及其应用第8章部分主动力有势时的第二类拉格朗日方程d0,1,2,,dkkLLkNtqqL=T–V—拉格朗日函数,或动势主动力为势力时的第二类拉格朗日方程d,1,2,,dkkkTTQkNtqq第二类拉格朗日方程*d,1,2,,dkkkLLQkNtqq部分主动力有势时的第二类拉格朗日方程L=T–V—其中V为有势主动力对应的势能***11δ=δδMNiikkikAQqFrQk*为非有势主动力的虚功对应的广义力第二类拉格朗日方程及其应用第8章应用拉格朗日方程的解题步骤为判断系统是否为完整约束,主动力是否有势,以决定能否应用拉格朗日方程以及应用何种形式的拉格朗日方程。确定系统的自由度数,选择合适的广义坐标。按所选的广义坐标,写出系统动能、势能或广义力。把动能、势能或广义力代入拉格朗日方程。拉格朗日方程解题步骤第二类拉格朗日方程及其应用第8章行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m的均质曲柄AB带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2,半径为r2。定齿轮I的半径为r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用时,用拉格朗日方程求曲柄的角加速度。例1d,1,2,,dkkkTTQkNtqq第二类拉格朗日方程及其应用第8章取曲柄的转角为广义坐标。222121(29)()12mmrr=AMQM22121(29)()6mmrrM22121(29)()6TmmrrddTTQt22126(29)()Mmmrr例1解22222111222ABBTJmvJd,1,2,,dkkkTTQkNtqqddTTQt0T第二类拉格朗日方程及其应用第8章用拉格朗日方程列写系统的运动微分方程(假定小球纯滚动)。xrxOyxOxrxCvC例3Md0,1,2,,dkkLLkNtqq第二类拉格朗日方程及其应用第8章例3解取x和xr为广义坐标。222222221111(2cos)222231()cos24rrrrrxTMxmxxxxmrrMmxmxmxxsinrVmgx2231()cossin24rrrLTVMmxmxmxxmgx0Lx()cosrLMmxmxxd()cosdrLMmxmxtxxrxOyxOxrxCvCd0,1,2dkkLLktqq第二类拉格朗日方程及其应用第8章d3cosd2rrLmxmxtx:()cos03:cossin02rrrxMmxmxxmxmxmgd0,1,2dkkLLktqq例3解sinrLmgx3cos2rrLmxmxx2231()cossin24rrrLMmxmxmxxmgxxrxOyxOxrxCvC第二类拉格朗日方程及其应用第8章半径为R的圆环在力偶矩为M的力偶作用下转动,质量为m的小环可在圆环上自由滑动。已知圆环对y轴的转动惯量为J,忽略摩擦力。求为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩M。例4xyRmOM第二类拉格朗日方程及其应用第8章系统具有两个自由度,取和为广义坐标。O点为势能参考点222222121(sin)2cosLTVJmRRmgRxyRmORM0AMQMQ,0L22(sin)LJmR222d(sin)2sincosdLJmRmRt例4解ddLLQtddLLQt第二类拉格朗日方程及其应用第8章将约束条件和代入上式,即得为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩M为022sincosMmRddLLQt222(sin)2sincosMJmRmR例4解22sincossinLmRmgR2LmR2ddLmRt222221(sin)cos2LmRRmgR0AMQ2sincossin0gR22coscos22gCRddLLQt第二类拉格朗日方程及其应用第8章本题也可以将力偶M视为有势力,则系统势能函数为0cosVmgRMdxyRmORM例4解d0dLLtd0dLLtL=T–V第二类拉格朗日方程及其应用第8章设倾角为的质量为M的三角块可以沿着水平面自由运动,质量为m的小物块沿着三角块运动,并以刚度系数为k的弹簧与三角块相连,如图所示。求该系统的运动微分方程。例6Qd0,1,2,,dkkLLkNtqq第二类拉格朗日方程及其应用第8章例6解选x,xr为广义坐标,设弹簧静伸长为s22211(2cos)22rrTMxmxxxx21()sin2rsrVkxmgxd0,1,2dkkLLktqqd:[()cos]0drxMmxmxtd:[cos]()sin0drrrSxmxmxkxmgt()cos]0cos0rrrMmxmxmxmxkxsinSkmg第二类拉格朗日方程及其应用第8章碰撞问题-Lagrange方程的积分形式设碰撞发生在很短的时间段[0,t]内,对上式积分:0(1,...,)iiitttTTIinqq其中为广义冲量,求法类似广义力。0tiiIQdtd,1,2,,diiiTTQintqq000dddd,1,2,,dtttiiiTTttQtintqq左端第二个积分中被积函数有界,积分结果是t的同阶小量,可以忽略。广义动量第二类拉格朗日方程及其应用第8章在O点悬挂的连杆系统OAB如图所示。O、A为柱铰,两均质杆长皆为l,质量皆为m,在静止状态下,下端B点受到一冲量S作用,求碰撞后两杆的角速度。olm,lm,SAB例7第二类拉格朗日方程及其应用第8章取转角为广义坐标。21,系统动能ABOATTT212)31(21mlTOA22222111()()2212ABCCTmxymlxoSACBy1212121sinsin21coscos2CCxllyll例7解112211221coscos21sinsin2
本文标题:分析动力学1-第二类拉格朗日方程---2019
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