高考数学：数形结合思想专题训练

数形结合思想专题训练专题训练一一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．已知集合P={0,m},Q={x│Zxxx,0522},若P∩Q≠,则m等于（）A．1B．2C．1或25D．1或22．使得点)2sin,2(cosA到点)sin,(cosB的距离为1的的一个值是（）A．12B．6C．3D．43．将函数xxf2sin:的图象向右平移B=[－1，1]个单位长度，再作关于x轴的对称变换，得到yxxRcos2，的图象，则fx()可以是（）A．sinxB．cosxC．2sinxD．2cosx4．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂六年来这种产品的可用图像表示的是（）A.B.C.D.5．有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为（）A．2aB．22aC．32aD．42a6．已知z∈C，满足不等式0ziizzz的点Z的集合用阴影表示为（）A．B．C．D．7．直角坐标xOy平面上，平行直线x＝n（n＝0，1，2，……，5）与平行直线y＝n（n＝0，1，2，……，5）组成的图形中，矩形共有（）A．25个B．36个C．100个D．225个8．方程11122xyyx所对应的曲线图形是（）36Cot36Cot36Cot36CotxyOxyO1xyO1xyO－1A．B．C．D．9．设0＜x＜π，则函数xxysincos2的最小值是（）A．3B．2C．3D．2-310．四面体ABCD的六条棱中，其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是()A．2,0B．32,0C．32,2D．4,211．若直线1kxy与曲线12yx有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A．12kB．22kC．21kD．2k或2k12．某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润y（单位：万元）与年数xNx满足如图的二次函数关系。要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用（）A．3年B．4年C．5年D．6年二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．若复数z满足||||||zzzi1121，那么的最小值是___________.14．已知偶函数)(xf的图象与x轴有五个公共点，那么方程0)(xf的所有实根之和为_______.15．若z=yxyx,53中的满足约束条件3511535yxxyyx，则Z的最大值和最小值分别为．16．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如右图所示.假设其关系为指数函数，并给出下列说法①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2；③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2m2,3m2,6m2所需的时间分别为t1,t2,t3,则有t1+t2=t3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.其中正确的说法有.(请把正确说法的序号都填在横线上)三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：17．（本小题满分12分）已知函数)8cos()87sin()(xxxf的图象向右平移8个单位得到函数)(xg的图象.（I）求函数g(x)的表达式;（II）证明当)4543(，x时，经过函数g(x)图象上任意两点的直线的斜率恒大于零.18．（本小题满分12分）如图所示，已知四面体O－ABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，Q为OB的中点，P为OA的中点，若AB=OC，试用向量方法证明，PM⊥QN.19．（本小题满分12分）为了能更好地了解鲸的生活习性，某动物研究所在受伤的鲸身上安装了电子监测装置，从海岸放归点A处（如图所示）把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行了40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动）。然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测。已知AB=15km，观测站B的观测半径为5km.观测时刻t（分钟）跟踪观测点到放归点距离a（km）鲸位于跟踪观测点正北方向的距离b（km）1011202230334042（I）根据表中数据：（1）计算鲸沿海岸线方向运动的速度，（2）写出a、b满足的关系式并画出鲸的运动路线简图；（II）若鲸继续以（I）－（2）中的运行路线运动，则鲸经过多少分钟（从放归时计时），可进入前方观测站B的观测范围。(.)4164≈20．（本小题满分12分）如图所示，已知圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足NAMNPAPAM点,0,2的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程；（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FHFG，求的取值范围.PnPn+1yox21．（本小题满分12分）在xoy平面上有一系列点,),,(),,(222111yxPyxP),,(nnnyxP对每个自然数n,点nP位于函数)0(2xxy的图象上．以点nP为圆心的⊙nP与x轴都相切，且⊙nP与⊙1nP又彼此外切．若11x,且nnxx1)(Nn．（Ⅰ）求证：数列}1{nx是等差数列；（Ⅱ）设⊙nP的面积为nS，nnSSST21,求证：23nT22．（本小题满分14分）已知a＞1，数列}{na的通项公式是21nnaa，前n项和记作nS（n＝1，2，…），规定00S．函数)(xf在0S处和每个区间（iS，1iS）（i＝0，1，2，…）上有定义，且0)(0Sf，iiaSf)(（i＝1，2，…）．当x（iS，1iS）时，f（x）的图像完全落在连结点iP（iS，)(iSf）与点1iP（1iS，)(1iSf）的线段上．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设f（x）的图像与坐标轴及直线l：nSx（n＝1，2，…）围成的图形面积为nA，求nA及nnAlim；（Ⅲ）若存在正整数n，使得2aAn，求a的取值范围．答案一、选择题（每小题5分，共60分）：(1).D(2).C(3).C(4).A(5).B(6).C(7).D(8).D(9).C(10).B(11).A(12).C二、填空题（每小题4分，共16分）(13).1；(14).0；(15).17和－11；(16).①②④三、解答题（共74分，按步骤得分）17.解：（I）()()788xxfxxxx()sin()cos()sin()881224……3分gxxx()sin[()]sin12284122……6分（II）证明一：依题意，只需证明函数g(x)当x()3454，时是增函数sin2x在22222kxk即kxkkZ)44(的每一个区间上是增函数……9分当k1时，gxx()sin2在()3454，是增函数……10分则当x()3454，时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。……12分证明二：设函数g(x)图像上任意两点AxyBxyxx()()()1122123454，，，，，，不妨设xxKxxxxxxxxxxAB121212121212222，sinsincos()sin()xxxxxx1212123454325220，，，，，，()()()…11分cos()sin()xxxxxxKAB1212120000，，，则当x()3454，时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。18.证明∵M是BC的中点，连结OM，∴OM=21（OB+OC）。同理由N是AC的中点，得ON=21（OA+OC）。∵PM=PO+OM=21（AO+OB+OC）=21（OB－OA+OC）=21（AB+OC），QN=QO+ON=21（BO+OA+OC）=21（OA－OB+OC）=21（BA+OC）=21（OC－AB）。∴PM·QN=21（OC+AB）·21（OC－AB）=41（2OC－2AB）。∵|AB|=|OC|，∴PM·QN=0，即PM⊥QN。19.解：（I）由表中数据知（1）鲸沿海岸线方向运行的速度为110（km/分钟）。（2）a、b满足的关系式为ba。鲸的运动路线图为（II）以点A为坐标原点，海岸线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，设鲸所在的位置为点P（x，y），由（I）知yx。又B（15，0），依题意知，观测站B的观测区域为()()xyy1525022，又yx，∴()xx15252，即xx2292000。∴113177..x。故鲸从A点进入前方观测站B所用的时间为113110113.分钟。答：鲸大约经过113分钟进入B站的观测范围。20.解：（I）.0,2AMNPAPAM∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.又.222||||,22||||ANCNNMCN∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222a焦距2c=2..1,1,22bca∴曲线E的方程为.1222yx（II）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为,12,222yxkxy代入椭圆方程得.230.034)21(222kkxxk得由设2212212211213,214),,(),,(kxxkkxxyxHyxG则)2,()2,(,2211yxyxFHFG又2122221222122121)1(.,)1(,xxxxxxxxxxxxx，222222)1()121(316,213)1()214(kkkk整理得.331.316214.316323164,2322解得kk.131,10又又当直线GH斜率不存在，方程为.31,31,0FHFGx)1,31[,131的取值范围是即所求21.解：（1）依题意，⊙nP的半径2nnnxyr，⊙nP与⊙1nP彼此外切，11nnnnrrPP12121)()(nnnnnnyyyyxx两边平方，化简得1214)(nnnnyyxx,即212214)(nnnnxxxx,01nnxx，112nnnnxxxx1112()nnnNxx，∴数列}1{nx是等差数列．(2)由题设，11x，∴111(1)2nnxx，即121nxn，4422)12(nxyrSnnnn，nnSSST21])12(151311[222n])12()32(15313111[nn＝)]}121321()5131()311[(211{nn＝)]1211(211[n23)12(223n．22.解：（1）f（x）的定义域是](](](}{121100nnSSSSSSS，，，，由于所有的na都是正数，故nS是单调递增的．∵1111lim21aaaaqaSnn∴f（x）的定义域是]10[2aa，（Ⅱ）∵iiiPPSSSfSfki111)()(11aaaaiii111（i＝1，2，…）与i无关．∴所有的1P，2P，3P…共线，该直线过点1P（a，a），斜率为1-a，∴2121aA．当n≥2时，nA是一个三角形与一个梯形面积之和（如上图所示）．梯形面积是))](()([2111SSSfSfnn]11)11()[1(21