中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析

数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————1中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析23．（江苏连云港）如图，甲、乙两人分别从A（1，3）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行走，th后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．解：（1）∵A（1，3），∴OA＝2，∠AOB＝60°假设MN∥AB，则有OMOA＝ONOB∵OM＝2－4t，ON＝6－4t，∴2－4t2＝6－4t6解得t＝0即在甲、乙两人到达O点前，只有当t＝0时，△OMN∽△OAB∴MN与AB不可能平行（2）∵甲达到O点时间为t＝24＝12，乙达到O点时间为t＝64＝32∴甲先到达O点，∴t＝12或t＝32时，O、M、N三点不能构成三角形①当t＜12时，若△OMN∽△OBA，则有2－4t6＝6－4t2解得t＝2＞12，∴△OMN与△OBA不相似②当12＜t＜32时，∠MON＞∠OAB，显然△OMN与△OBA不相似③当t＞32时，4t－26＝4t－62，解得t＝2＞32∴当t＝2时，△OMN∽△OBA（3）①当t≤12时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H在Rt△MOH中，∵∠AOB＝60°∴MH＝OM·sin60°＝(2－4t)×32＝3(1－2t)OByxAOByxAMH图1N数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————2∴NH＝12(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t∴s＝[3(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28②当12＜t≤32时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H在Rt△MNH中，MH＝32(4t－2)＝3(2t－1)NH＝12(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t∴s＝[3(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28③当t＞32时，同理可得s＝[3(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28综上所述，s＝16t2－32t＋28∵s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12∴当t＝1时，s有最小值为12∴甲、乙两人距离的最小值为23km24．（江苏南通）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点．点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．（1）若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a＝52，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵BC＝12，D是BC的中点∴BD＝CD＝6∵a＝2，∴BP＝2t，DQ＝t，BQ＝6－t∵△BPQ∽△BDA，∴BPBD＝BQBA∴2t6＝6－t10，∴t＝1813CBDAQPOByxAMH图2N数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————3（2）①∵a＝52，∴BP＝52t∵四边形PQCM为平行四边形，∴PQ∥AC∴△BPQ∽△BAC，∴BPBA＝BQBC∴52t10＝6－t12，∴t＝32，∴BP＝154∵AB＝AC，∴PQ＝BP＝154②不存在理由：假设存在实数a，使得点P在∠ACB的角平分线上则四边形PQCM为菱形，∴BP＝PQ＝CQ＝6＋t由①知，BPBA＝BQBC，∴6＋t10＝6－t12∴t＝－611＜0∴不存在实数a，使得点P在ACB的角平分线上25．（江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝12x与直线l2：y＝－x＋6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．（1）求M、N的坐标；（2）在矩形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD与△OMN的重合部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值．解：（1）对于y＝－x＋6，令y＝0，得x＝6∴点N的坐标为（6，0）由题意，得y＝12xy＝－x＋6解得x＝4y＝2ABl1NMxl2CDyOCBDAQPMABl1NMxl2CDyOAl1NMxl2CDyOB数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————4∴点M的坐标为（4，2）（2）当0≤t≤1时，S＝14t2当1＜t≤4时，S＝12t－14当4＜t＜5时，S＝－34t2＋132t－494当5≤t＜6时，S＝－t＋132当6≤t≤7时，S＝12(7－t)2（3）解法一：当0≤t≤1时，S最大＝14当1＜t≤4时，S最大＝74当4＜t＜5时，S＝－34(t－133)2＋116∴当t＝133时，S最大＝116当5≤t＜6时，S最大＝32当6≤t≤7时，S最大＝12综上可知，当t＝133时，S的值最大，且最大值是116解法二：由（2）中的函数关系式可知，S的最大值一定在4＜t＜5时取得当4＜t＜5时，S＝－34(t－133)2＋116∴当t＝133时，S的值最大，且最大值是11626．（江苏模拟）已知抛物线与x轴交于B、C（1，0）两点，与y轴交于点A，顶点坐标为（52，－2716）．P、Q分别是线段AB、OB上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为每秒1个单位，设P、Q运动时间为t（0≤t≤4）．（1）求此抛物线的解析式，并求出P点的坐标（用t表示）；（2）当△OPQ面积最大时求△OBP的面积；（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？（4）△OPQ是否可能为等边三角形？若可能请求出t的值；若不可能请说明理由，并改变Q点的运动速度，使△OPQ为等边三角形，求出Q点运动的速度和此时t的值．yOxABCQPAl1NMxl2CDyOBAl1NMxl2CDyOBAl1NMxl2CDyOB数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————5解：（1）设抛物线的解析式为y＝a(x－52)2－2716∵抛物线过点C（1，0）∴0＝a(1－52)2－2716，∴a＝34∴y＝34(x－52)2－2716令y＝0，得x1＝1，x2＝4，∴B（4，0）令x＝0，得y＝3，∴A（0，3）∴AB＝32＋42＝5过点P作PM⊥y轴于M则△AMP∽△AOB，∴AMAO＝PMOB＝APAB即AM3＝PM4＝t5，∴AM＝35t，PM＝45t∴P（45t，3－35t）（2）过点P作PN⊥x轴于N∴S△OPQ＝12OQ·PN＝12·t·(3－35t)＝－310t2＋32t＝－310(t－52)2＋158∴当t＝52时，△OPQ面积最大此时OP为AB边上的中线∴S△OBP＝12S△AOB＝12×12×3×4＝3（3）若∠OPQ＝90°，则OP2＋PQ2＝OQ2∴(45t)2＋(3－35t)2＋(t－45t)2＋(3－35t)2＝t2解得t1＝3，t2＝15（舍去）若∠OQP＝90°，则PM＝OQ∴45t＝t，∴t＝0（舍去）∴当t＝3时，△OPQ为直角三角形OxABCQPyMN数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————6（4）∵OP2＝(45t)2＋(3－35t)2，PQ2＝(t－45t)2＋(3－35t)2∴OP≠PQ，∴△OPQ不可能是等边三角形设Q的速度为每秒k个单位时，△OPQ为等边三角形则OQ＝2PM，∴kt＝2·45t，得k＝85PN＝32OP＝32OQ，∴3－35t＝32·85t∴t＝203－151327．（江苏模拟）如图，在梯形纸片ABCD中，BC∥AD，∠A＋∠D＝90°，tanA＝2，过点B作BH⊥AD于H，BC＝BH＝2．动点F从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DH运动到点H停止，在运动过程中，过点F作FE⊥AD交折线D－C－B于点E，将纸片沿直线EF折叠，点C、D的对应点分别是点C1、D1．设F点运动的时间是t（秒）．（1）当点E和点C重合时，求t的值；（2）在整个运动过程中，设△EFD1或四边形EFD1C1与梯形ABCD重叠部分面积为S，求S与t之间的函数关系式和相应自变量t的取值范围；（3）平移线段CD，交线段BH于点G，交线段AD于点P．在直线BC上是否存在点Q，使△PGQ为等腰直角三角形？若存在，求出线段BQ的长；若不存在，说明理由．解：（1）过点C作CK⊥AD于K则四边形BHKC是矩形，∴HK＝BC＝2，CK＝BH＝2在Rt△CKD中，∠DCK＋∠D＝90°∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DCK＝∠A∴tan∠DCK＝tanA＝2，即DKCK＝2∴DK＝4，即t＝4（2）∵BHAH＝tanA＝2，BH＝2，∴AH＝1∴AD＝AH＋HK＋DK＝1＋2＋4＝7①当0＜t≤3.5时，重叠部分为△EFD1由题意，D1F＝DF＝t在Rt△EFD中，∠DEF＋∠D＝90°∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DEF＝∠A∴tan∠DEF＝tanA＝2，即DFEF＝2，∴EF＝12tD1ABCFEDHABCDH备用图ABCDHKD1ABCFEDHD1ABCFEDHNM数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————7∴S＝S△EFD1＝12D1F·EF＝12t·12t＝14t2②当3.5＜t≤4时，重叠部分为四边形AFEM过点M作MN⊥AD于N则tanA＝D1A＝2t－7，MNAN＝tanA＝2，得AN＝12MNMND1A＋AN＝tanD1＝tanD＝cotA＝12即MN2t－7＋12MN＝12，得MN＝23(2t－7)∴S＝S△EFD1－S△MD1A＝14t2－12(2t－7)·23(2t－7)＝－1312t2＋283t－493③当4＜t≤5时，重叠部分为五边形AFEC1MS＝S△C1D1FE－S△MD1A＝12(t－4＋t)·2－12(2t－7)·23(2t－7)＝－43t2＋343t－613④当5＜t≤6时，重叠部分为梯形AFEBS＝S梯形AFEB＝12(6－t＋7－t)·2＝－2t＋13（3）①当点P为直角顶点时作QO⊥AD于O，则∠GPH＋∠QPO＝90°∵∠GPH＋∠PGH＝90°，∴∠PGH＝∠QPO又∵PG＝PQ，∠GHP＝∠POQ＝90°∴△GHP≌△POQ，∴HP＝OQ＝2，PO＝12OQ＝1∴BQ＝HO＝3②当点Q为直角顶点时同①可证△BQG≌△OQP，∴BQ＝OQ＝2③当点G为直角顶点时同①可证△BQG≌△HGP，∴BG＝HP＝2GH＝2BQ∵BG＋GH＝BH，∴2BQ＋BQ＝2，∴BQ＝23∴在直线BC上存在点Q，使△PGQ为等腰直角三角形，线段BQ的长为3，2，2328．（江苏模拟）如图1，直线l：y＝－34x＋3分别交x轴、y轴于B、A两点，等腰Rt△CDE的斜边CD在x轴上，且CD＝6．若直线l以每秒3个单位的速度向上匀速运动，同时点C从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右匀速运动（如图2），设运动后直线l分别交x轴、y轴于N、M两点，以OM、ON为边作如图所示的矩形OMPN．设运动时间为t秒．（1）运动t秒后点E坐标为______________，点N坐标为______________（用含t的代数D1ABCFEDHNMC1D1AB