几何运动中函数关系的常见求法

几何运动中函数关系的常见求法笔架山中心学校张家塘学校陈佳辉求几何运动中的函数关系式,是各地中考的热点问题之一,也是对同学们的综合能力的考查.解决这类问题的基本方法是,抓住运动过程的某一瞬间的位置状态以及相关几何元素的数量,然后利用相似三角形、或勾股定理、或图形面积之间的关系等几何定理构造出方程,再将方程转化为函数式;同时注意自变量的取值范围.一、利用平行关系例1如图1,ABC中,已知∠C=90°,AC=4,BC=3,点D是AB上一动点,且DE∥BC交AC于E点,DF∥AC交BC于F点,求四边形CEDF的周长y与AD的长x之间的函数式.分析根据题意可得四边形CEDF是矩形,所以它的周长等于2×(DE+DF),利用平行条件得ΔADE∽ΔABC和ΔBDF∽ΔBAC,再根据“相似三角形的对应边成比例”,用含x的代数式分别表示出DE和DF的长,即可求出函数式.解在RtΔABC中,AB2=42+32=25∴AB=5.∵DE∥BC,∴ΔADE∽ΔABC,∴ABAD=BCDE,即5x=3DE.解得DE=53x.∵DF∥AC,∴ΔBDF∽ΔBAC,∴BD/BA=DF/AC,即(5-x)/5=DF/4.解得DF=4-4x/5.又∵DE∥BC,DF∥AC,∠C=90°,∴四边形CEDF是矩形.∴y=2(DE+DF)=2[53x+4-54x]=-x52+8(0x5).二、利用相似三角形例2如图2,边长为2cm的等边ΔABC内接于⊙O中,点D在弧AC上运动(与点A、C不重合),连结AD并延长交BC的延长线于P点.设AD=x,AP=y,求y与x的函数式.分析连接CD,通过证明ΔACD∽ΔAPC,得AC/AP=AD/AC,根据此比例式建立起方程,就能得到所求的函数式.解连接CD.∵ΔABC是等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°.∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ADC=180°-∠ABC=120°.∵∠ACB+∠ACP=180°,∴∠ACP=180°-60°=120°.又∵∠CAD=∠PAC,∴ΔACD∽ΔAPC,∴AC/AP=AD/AC,即23/y=x/23,解得y=x12(0x23).三、利用面积例3如图3,射线AN⊥AB,射线BM⊥AB,垂足分别是点A、B,点P是线段AB上一个动点(不与A、B重合),过点P作∠RPA=∠QPB=45°,PR、PQ分别交AN、BM于R点、Q点.已知AB=2,设AP=x,ΔPQR的面积为y,求y与x的函数式.分析根据SΔPQR=S梯形ARQB-(SΔPBQ+SΔPAR)构建方程,即可求出函数式.解在RtΔAPR中,∵∠RPA=45°,∴AP=AR=x,∴SΔPAR=21AP×AR=21x2.在RtΔPBQ中,∵∠QPB=45°,∴BP=BQ=2-x,∴SΔPBQ=21BP×BQ=21(2-x)2.∵SΔPQR=S梯形ARQB-(SΔPBQ+SΔPAR),∴y=21(x+2-x)×2-[21x2+21(2-x)2]=-x2+2x(0x2).四、利用勾股定理例4如图4,已知半⊙O的直径AB=4,与半⊙O内切的一动圆⊙O1切AB于M点,设AM=x,⊙O1半径为y,求y与x的函数式.分析⊙O1与AB相切于M点,若连接O1M,根据圆的切线的性质可得,O1M⊥AB于M点;⊙O与⊙O1相内切,若连接OO1并延长,可知此延长线必过⊙O与⊙O1的切点.在RtΔOO1M中,利用勾股定理建立起方程,就可求出函数式.解如图4,连接O1M,连接OO1并延长与⊙O交于一点.∵⊙O1与AB相切于M点,∴O1M⊥AB.在RtΔOO1M中,∵OO12=OM2+O1M2,∴(2-y)2=y2+(2-x)2.解得y=-41x2+x(0x4).几何运动中函数关系的常见求法学科:中学数学姓名:陈佳辉单位:笔架山中心学校张家塘学校电话:137867015892008-10